Les calculatrices sont interdites Les parties I, II et III sont ind´ ependantes.

"

"

C O N C O U R S C O M M U N S P O L Y T E C H N I Q U E S

Les calculatrices sont interdites Les parties I, II et III sont ind´ ependantes.

Notations et d´ efinitions

Soit P R

le plan muni du produit scalaire canonique et du rep` ere orthonorm´ e R O, i, j avec O 0, 0 , i 1, 0 et j 0,1 . La norme associ´ ee au produit scalaire canonique sera not´ ee

si bien que pour tout x, y R

, x i y j

x

y

.

Pour a et b deux r´ eels donn´ es, on d´ efinit D

la droite d’´ equation dans R : y ax b.

Si M P a pour coordonn´ ees x, y dans R , on note p

M l’unique point de D

ayant, dans R , la mˆ eme abscisse x que M.

On d´ efinit aussi D

la droite d’´ equation dans R : x ay b, et p

M l’unique point de D

ayant, dans R , la mˆ eme ordonn´ ee y que M.

PARTIE I : DROITES DES MOINDRES CARR ´ ES DANS UN CAS PARTICULIER Soient A, B et C les trois points de P dont les coordonn´ ees dans R sont respectivement :

0, 0 , 0, 1 et α,

o` u α d´ esigne un r´ eel non nul.

On d´ efinit deux applications f

et f

de R

dans R en posant : pour tout a, b R

, f

a, b p

A A

2

2

p

B B

2

2

p

C C

2 2

,

f

a, b p

A A

2 2

p

B B

2 2

p

C C

2 2

.

I.1. Montrer que A, B et C ne sont pas align´es.

I.2. I.2.a. Montrer que f

a, b b

b 1

aα b 1 2

2

.

I.2.b. V´erifier que f

a, b aα b 1 2

2

2 b 1

2

2

1

2 .

I.2.c. En d´eduire que la fonction f

admet un minimum sur R

et que ce minimum est atteint en un unique couple de r´eels a, b 0,

correspondant `a la droite, not´ee D

, d’´equation dans R : y

.

I.3. I.3.a. D´eterminer l’expression explicite de f

a, b en fonction de a, b et α.

I.3.b. Montrer que f

a, b 3 a

2 b α

3

2

1

2 a

2 3 α

.

I.3.c. En d´eduire que la fonction f

admet un minimum sur R

et que ce minimum est atteint en un unique couple de r´eels, not´e a

, b

, `a d´eterminer. On note alors D

la droite d’´equation dans R : x a

y b

.

I.4. Montrer que D

et D

sont orthogonales et se coupent en un unique point M P qui est l’isobarycentre de A, B, C .

PARTIE II : R ´ ESULTATS SUR UN ESPACE PR ´ EHILBERTIEN R ´ EEL

Soit E un espace pr´ehilbertien r´eel non r´eduit `a 0 et F un sous-espace vectoriel de dimension finie de E. On note le produit scalaire sur E et la norme associ´ee `a ce produit scalaire.

II.1. Donner la d´efinition de F . ´ Enoncer (sans d´emonstration) une propri´et´e v´erifi´ee par F et F valable en g´en´eral. Dans le cas o` u E est de dimension finie, que peut-on dire de plus ? Pour x E, on note p

x la projection orthogonale de x sur F .

II.2. D´emontrer que inf

z F

x z est bien d´efini et que cette borne inf´erieure est atteinte en un unique ´el´ement z de F d´efini par z p

x .

Cette borne inf´erieure est not´ee d x, F . On a donc d x, F x p

x .

On dit qu’une application x, y x y

de E

dans R est un produit subordonn´ e ` a F si elle v´erifie les 4 propri´et´es suivantes :

i) x E, l’application y x y

est une forme lin´eaire sur E ; ii) x, y E

, x y

y x

;

iii) x E, y F, x y

0 ; iv) x F , y F , x y

x y . II.3.

II.3.a. Montrer que si x, y x y

est un produit subordonn´e `a F, alors : x, y E

, x y

x p

x y p

y ;

x E, x x

d x, F

;

x E, x x

0 ;

x E, x x

0 x F .

II.3.b. V´erifier qu’il existe un unique produit subordonn´e `a F .

2/6

On note alors

ce produit subordonn´ e ` a F et pour x E, on pose x

x x

. II.4. Montrer que pour tout x, y E

, x y

x

y

; ` a quelle condition sur x et y peut-on dire que : x y

x

y

?

II.5.

II.5.a. Montrer l’existence d’un ´ el´ ement de E, not´ e u, tel que u 1.

On note alors D Vect u la droite vectorielle engendr´ ee par u et p

la projection orthogonale sur D.

II.5.b. V´ erifier que pour tout x E, p

x x u u.

Pour tout ´ el´ ement x E, on pose m

x u , σ

x

. Pour tout couple x, y E

, on pose cov x, y x y

.

II.5.c. Montrer que σ

x m

u et que cov x, y x y m

m

.

On suppose dans la suite de cette partie que x et y sont deux ´ el´ ements de E tels que la famille u, x, y soit libre.

II.6. Montrer que σ

et σ

sont deux r´ eels strictement positifs.

On pose alors x x m

u

σ

, y y m

u

σ

et ρ cov x, y σ

σ

. II.7.

II.7.a. Montrer que m

0, que σ

1 et que ρ 1, 1 .

II.7.b. V´ erifier alors que u,x est une base orthonormale de F Vect u, x . II.7.c. Montrer que inf

a,b

R

y ax bu est bien d´ efini et vaut d y, F . II.7.d. Etablir que ´ inf

a,b

R

y ax bu y m

u y x x . II.7.e. V´ erifier que inf

a,b

R

y ax bu σ

y ρx .

II.7.f. D´ eterminer, en fonction de x, y et u, l’unique couple de r´ eels a

, b

tel que : inf

a,b

R

y ax bu y a

x b

u .

Dans le plan P , on d´ efinit D

comme ´ etant la droite dont l’´ equation dans R est : y a

x b

. II.8. Montrer que D

a pour ´ equation dans R : y m

σ

ρ x m

σ

. II.9. Montrer de mˆ eme qu’il existe un unique couple de r´ eels a

, b

tel que :

inf

a,b

R

x ay bu x a

y b

u .

Dans le plan P , on d´ efinit D

comme ´ etant la droite dont l’´ equation dans R est : x a

y b

. II.10. Montrer que D

a pour ´ equation dans R : x m

σ

ρ y m

σ

avec le mˆ eme r´ eel ρ

d´ efini pr´ ec´ edemment. 3/6

II.11. V´ erifier que D

et D

se coupent en un unique point M P de coordonn´ ees dans R : m

, m

.

II.12. Montrer que les droites D

et D

sont orthogonales si et seulement si x y m

m

. PARTIE III : BASE ADAPT ´ EE ` A UN PRODUIT SCALAIRE DANS UN ESPACE EUCLIDIEN

Soit E

un espace euclidien de dimension n avec n 1.

On note le produit scalaire sur E

et la norme associ´ ee ` a ce produit scalaire.

Soit B e

, . . . , e

une base de E

. Pour tout ´ el´ ement z E

, on notera M

z la matrice de z dans la base B , et on posera Z M

z . Ainsi Z est la matrice-colonne ` a n lignes donn´ ee par la relation Z

z

.. . z

M

R si z

n

i 1

z

e

.

III.1. V´ erifier que pour tout x, y E

, x y

XSY si X M

x , Y M

y et S e

e

i,j 1,...,n²

.

On dit alors que S est associ´ ee ` a B . III.2.

III.2.a. V´ erifier que si S est associ´ ee ` a B , alors S est une matrice carr´ ee sym´ etrique r´ eelle d’ordre n et que le spectre de S dans C est inclus dans R .

III.2.b. A quelle condition sur ` B la matrice S associ´ ee ` a B est-elle diagonale ? III.3. On consid` ere deux matrices A et B carr´ ees d’ordre n telles que pour tout X M

R et Y M

R ,

XAY

XBY . Montrer que A B.

Notons B e

, . . . , e

une base de E

et P la matrice de passage de B ` a B . III.4.

III.4.a. Pour x E

, on note X M

x et X M

x . Donner la relation entre X, X et P.

III.4.b. On note S e

e

i,j 1,...,n²

. Pour x, y E

, X M

x et Y M

y , donner l’expression de x y en fonction de X , Y et S . En d´ eduire que S

P SP .

III.4.c. Montrer qu’il existe une base B de E

telle que, pour tout x, y E

, x y

n

i 1

x

y

si x

n

i 1

x

e

et y

n

i 1

y

e

.

III.4.d. A quelle condition sur ` B la matrice de passage P de B ` a la base pr´ ec´ edente B est-elle une matrice orthogonale ?

III.5. Etant donn´ ´ e une matrice M

M

R diagonale avec des r´ eels d

, . . . , d

strictement

positifs sur la diagonale, M

est-elle la matrice associ´ ee ` a une base de E

?

III.6. Soit M

1 1

1 1 , B e

, e

une base orthonormale de E

et f

l’endomorphisme de E

dont la matrice dans B est M

.

III.6.a. D´eterminer le spectre de f

et une base orthonormale de chaque sous-espace propre de f

.

III.6.b. M

est-elle la matrice associ´ee `a une base de E

?

III.7. Soit M

3 1 1

1 3 1

1 1 3

et B e

, e

, e

une base orthonormale de E

. On note f

l’endomorphisme de E

dont la matrice dans B est M

.

III.7.a. D´eterminer le spectre de f

et une base orthonormale de chaque sous-espace propre de f

.

III.7.b. M

est-elle la matrice associ´ee `a une base de E

?

III.8. M

0 0 2 1

0 0 1 2

2 1 0 0

1 2 0 0

est-elle la matrice associ´ee `a une base de E

?

On dit qu’une famille B e

, . . . ,e

d’´el´ements de E

est adapt´ ee si les conditions suivantes sont remplies :

pour tout i, j 1, . . . , n

, e

e

0 si i j ; pour tout i 1, . . . , n , e

e

1 n . III.9.

III.9.a. Montrer qu’une famille adapt´ee est une base de E

. III.9.b. Montrer l’existence d’une base adapt´ee.

III.9.c. E

admet-il une unique base adapt´ee ?

III.9.d. On suppose que B est une base adapt´ee. Pour x, y E

, d´eterminer l’expression de x y en fonction des coordonn´ees de x et de y dans la base B .

III.9.e. Calculer alors la norme du vecteur

n

i 1

e

.

PARTIE IV : DROITES DES MOINDRES CARR ´ ES DANS LE CAS G ´ EN ´ ERAL Soit n un entier sup´erieur ou ´egal `a 3.

On consid`ere A

, . . . , A

, n points distincts du plan P qui ne sont pas align´es.

On note x

, y

, . . . , x

, y

leurs coordonn´ees respectives dans R .

On d´efinit deux applications f

et f

de R

dans R en posant : pour tout a, b R

, f

a, b

n

i 1

p

A

A

et f

a, b

n

i 1

p

A

A

.

IV.1. Donner un exemple d’espace pr´ehilbertien r´eel de dimension infinie, puis un exemple d’espace euclidien de dimension n (dans les deux cas, on donnera l’expression du produit scalaire).

5/6

On consid` ere dans toute la suite du probl` eme un espace euclidien E

de dimension n, dont le produit scalaire et la norme associ´ ee sont not´ es respectivement et .

IV.2. Justifier l’existence d’une base B e

, . . . , e

de E

telle que : z, t E

, z t 1

n

n

i 1

z

t

si z

n

i 1

z

e

et t

n

i 1

t

e

.

On pose u

n

i 1

e

, si bien que u 1.

On d´ efinit alors, ` a partir des points A

, . . . , A

, deux ´ el´ ements x et y dans E

en posant : x

n

i 1

x

e

et y

n

i 1

y

e

.

IV.3. Montrer que u, x, y est une famille libre de E

.

IV.4. Montrer que pour tout a, b R

, f

a, b n y ax bu

et f

a, b n x ay bu

. IV.5.

IV.5.a. En d´ eduire que f

admet un minimum sur R

qui est atteint en un unique couple de r´ eels, not´ e a

, b

, et qu’il en est de mˆ eme de f

avec un unique couple de r´ eels not´ e

a

, b

.

Dans le plan P , on d´ efinit alors les droites D

et D

d’´ equation dans R : y a

x b

et x a

y b

. On les appelle les droites des moindres carr´ es associ´ ees ` a A

, . . . , A

. IV.5.b. Montrer que les droites D

et D

se coupent en un unique point M P qui est l’isobarycentre de A

, . . . , A

.

IV.5.c. A quelle condition sur les ` x

, . . . , x

, y

, . . . , y

, les droites D

et D

sont-elles orthogonales ? Donner dans ce cas les ´ equations dans R de D

et D

.

IV.5.d. Donner un exemple de quatre points distincts et non align´ es A

, . . . , A

de P tels

que les droites des moindres carr´ es D

et D

associ´ ees ` a A

, . . . , A

soient orthogonales

et donner dans ce cas les ´ equations dans R de D

et D

.