On note h·, ·i le produit scalaire usuel de R

(1)

TD6 : Approximation dans les espaces Euclidiens.

MNO, L3, Dauphine, 2020-2021 D. Gontier, gontier@ceremade.dauphine.fr

Échauffement

Exercice 1. (Changement de produit scalaire)

On note h·, ·i le produit scalaire usuel de R

^d

. Soit A ∈ S

_d⁺⁺

de valeurs propres 0 < λ

1

≤ · · · ≤ λ

d

. On définit la forme bilinéaire sur R

^d

∀x, y ∈ R

^d

, hx, yi

A

:= hx, Ayi = x

^T

Ay.

a/ Montrer que h·, ·i

A

est un produit scalaire.

b/ Montrer que la norme associée k · k

A

est équivalente à la norme usuelle k · k, et plus précisément,

∀x ∈ R

^d

, λ

1

kxk

²

≤ kxk

²_A

≤ λ

d

kxk

²

. c/ Soit B ∈ M

_d

( R ). Montrer que

hx, Byi

_A

= hA

⁻¹

B

^T

Ax, yi

_A

. On dit que le dual de B est A

⁻¹

B

^T

A pour le produit scalaire hx, yi

A

.

d/ Pour les fonctions suivantes, calculer le gradient, pour le produit scalaire h·, ·i

A

: F

₁

(x) := kxk

²_A

, F

₂

(x) := kxk

²

, F

₃

(x) := 1

2 x

^T

Ax − b

^T

x.

On remarquera que le gradient dépend du produit scalaire...

Exercice 2. (Rappels sur les espaces Euclidien)

Soit H un espace vectoriel, et soit h·, ·i un produit scalaire sur H, de norme associée k · k.

a/ (Identité du parallélogramme). Montrer que

∀x, y ∈ H, 2kxk

²

+ 2kyk

²

= kx + yk

²

+ kx − yk

²

,

b/ Montrer que k · k

²

est une fonction strictement convexe. Indice : on pourra montrer que

∀x, y ∈ H, ∀0 < t < 1, ktx + (1 − t)yk

²

− tkxk

²

− (1 − t)kyk

²

= −t(1 − t)kx − yk

²

.

c/ (Cauchy-Schwarz) Montrer que hx, yi ≤ kxk · kyk. Indice : on pourra développer

x

kxk

−

_kyk^y

2

.

d/ (Projection orthogonale) Soit E ⊂ H un sous-espace vectoriel de dimension finie, et soit x ∈ H. Montrer que la fonction N

_x

: E → R définie par N

_x

(v) := kv − xk

²

est continue et coercive sur E.

e/ En déduire que N

_x

admet un minimiseur sur E. Montrer que ce minimiseur est unique.

On appelle ce minimiseur la projection orthogonale de x sur E, et on la note P

_E

(x).

f/ Montrer que pour tout v ∈ E, on a hv, x − P

E

(x)i = 0. Indice : on pourra calculer N

x

(P

E

(x) + tv).

Exercice 3. (Matrice de Gram)

Soit E un espace Euclidien de dimension d, avec produit scalaire h·, ·i et norme k · k. Soit x

1

, · · · , x

d

∈ E une famille libre. On introduit la matrice de Gram G ∈ S

d

( R ) de coefficient g

ij

:= hx

i

, x

j

i.

a/ Montrer que G = I

d

ssi (x

1

, · · · , x

d

) est orthonormale, et que G est diagonale ssi (x

1

, · · · , x

d

) est orthogonale.

b/ Montrer que

∀α :=





 α

₁

.. . α

d





 ∈ R

^d

, α

^T

Gα = kα

₁

x

₁

+ · · · + α

_d

x

_d

k

²

.

c/ En déduire que G ∈ S

_d⁺⁺

( R ) est une matrice symétrique définie positive.

d/ On pose S := G

^−1/2

∈ S

_d⁺⁺

( R ), puis, pour 1 ≤ i ≤ d, u

i

:= P

d

k=1

x

k

s

ki

. Montrer que la famille (u

1

, · · · , u

d

) est orthonormale.

Dans le cas où E = R

^d

avec le produit scalaire usuel, on peut voir x

i

comme des vecteurs colonnes. Dans ce cas, on a

X = x

1

, · · · , x

d

, G = X

^T

X, u

1

, · · · , u

d

= x

1

, · · · , x

d

G

^−1/2

.

(2)

Approximation polynômiale

Exercice 4. (Polynômes de meilleur approximation pour la norme 2)

On note H := C

⁰

([−1, 1], R ) l’ensemble des fonctions continues de [0, 1] → R , et on considère le produit scalaire sur H

∀f, g ∈ H, hf, gi

2

:=

Z

1

−1

f (x)g(x)dx.

On considère la famille de polynôme P

_n

(X) définie par P

n

(X) := d

ⁿ

dx

ⁿ

(x

²

− 1)

ⁿ

.

a/ Montrer que (x

²

− 1)

ⁿ

est un polynôme de degré 2n, de coefficient dominant 1. En déduire que P

n

(X) est un polynôme de degré n, et que son coefficient dominant est

^(2n)!_n!

.

b/ En déduire que E

_n

:= Ran {P

₀

, P

₁

, · · · , P

_n

} est un sous-espace de dimension n + 1, puis que E

_n

= R

n

[X ].

c/ Soit f ∈ C

¹

([−1, 1], R ). En intégrant n fois par partie, montrer que hP

n

, fi

2

= (−1)

ⁿ

Z

1

−1

(x

²

− 1)

ⁿ

f

⁽ⁿ⁾

(x).

d/ En déduire que hP

_n

, P

_m

i

₂

= 0 si n 6= m, puis que P

_n+1

(X) est orthogonal à R

n

[X].

On admettra que α

_n

:= kP

n

k

2

= 2

ⁿ

n! √

√ 2

n + 1 . Pour les curieux, cela peut se faire avec le changement de variable x = sin(θ) puis en utilisant les intégrales de Wallis.

e/ Montrer que pour tout f ∈ C

⁰

([−1, 1], R ), le problème argmin n

kf − P k

²₂

, P ∈ R

n

[X ] o ,

admet une unique solution, et que celle là est donnée par [P

E_n

(f )] (x) := P

n k=0

1 α

²_k

hf, P

k

i

2

P

k

(x).

Les polynômes P

n

sont les polynômes de Legendre (à un facteur près).

Exercice 5. (Polynômes de meilleur approximation pour la norme ∞)

Dans cet exercice, on cherche le polynôme unitaire P de degré n qui minimise l’erreur kP k

∞

:= max

_[−1,1]

|P |.

On pose

∀x ∈ [−1, 1], T

n

(x) := cos(n arccos(x)).

a/ Montrer que T

₀

(x) = 1 et T

₁

(x) = x, puis que pour tout n ≥ 1, on a

¹

T

_n+1

(x) = 2xT

_n

(x) − T

_n−1

(x).

b/ Soit P

_n

(x) := 2

⁻⁽ⁿ⁻¹⁾

T

_n

(x).

(i) Montrer que P

n

est un polynôme unitaire de degré n qui vérifie kP

n

k

∞

=

₂n−1¹

.

(ii) Soit x

_k

:= cos(

^k_n

π) pour 0 ≤ k ≤ n. Montrer que P

_n

(x

_k

) =

⁽⁻¹⁾₂n−1^k

(notez l’alternance de signes).

c/ On suppose qu’il existe Q ∈ R

n

[X ] unitaire tel que kQk

_∞

= α <

₂n−1¹

, et soit E(x) := P

_n

(x) − Q(x).

(i) Montrer que E ∈ R

n−1

[X] et que sgn E(x

_k

) = sgn P

_n

(x

_k

).

(ii) En déduire que E s’annule au moins n fois, puis conclure.

Les polynômes T

n

sont les polynômes de Chebyshev.

1. On pourra utiliser l’identitécos(a+b) + cos(a−b) = 2 cosacosb.