Montrer que pour tout entiern,Kn+1+Kn=Ln 4

Lyc´ee Dominique Villars Cours - Exercices ECE 2

REVISIONS - Propri´et´es du calcul d’int´egrales sur un segment [a, b]

Lin´earit´e : soient f etg deux fonctions continues sur un segment [a, b] et des r´eelsλetµalors : Z b

a

(λf(t) +µg(t)) dt = λ Z b

a

f(t)dt + µ

Z b a

g(t) dt

Positivit´e: soientf etgdeux fonctions continues sur un segment [a, b] telles que pour toutx∈[a, b],f(x)>g(x) alors :

Z b a

f(t) dt >

Z b a

g(t) dt

¶ On noteI =

1

R

0

x

1 + 2x² dxetJ =

1

R

0

x³ 1 + 2x² dx.

I =

Z 1 0

x

1 + 2x² dx = . . . . I+ 2J = . . . . . . . . donc

J = . . . .

· Montrer que pour tout entiern>1 :

0 6

1

Z

0

e^−t

n+t dt 6 1

n 06

Z 1 0

e^−nt

1 +t² dt 6 1−e⁻ⁿ

n 0 6

Z 1 0

ln(1 +tⁿ) dt 6 1

n+ 1

¸ Pour tout entiern, on noteRn =

1

R

0

e^−nt

1 +e^−t dt puis Kn =

e

R

1

xⁿln(x)

1 +x dxetLn =

e

R

1

xⁿln(x) dx.

1. Calculer R1 puisR0+R1 etR1 +R2. En d´eduire les valeursR0 etR2.

2. A l’aide de la formule d’int´egration par parties, montrer que L_n = neⁿ⁺¹+ 1 (n+ 1)² 3. Montrer que pour tout entiern,K_n+1+K_n=L_n

4. Montrer que les suites (Kn) et (Ln) sont des suites croissantes.

Une ´etude d’une fonction d´efinie par une int´egrale - ESCP voie T - 2015

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Une ´etude d’une suite d´efinie par une int´egrale - ESCP voie T 2018

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