• Aucun résultat trouvé

Montrer que l’on a, pour tout entiern≥1 : n X k=1 k !2 = n X k=1 k3

N/A
N/A
Info
Télécharger
Protected

Academic year: 2022

Partager "Montrer que l’on a, pour tout entiern≥1 : n X k=1 k !2 = n X k=1 k3"

Copied!
1
0
0

Chargement.... (Voir le texte intégral maintenant)

Texte intégral

(1)

CPP – 2013/2014 Bases d’algèbre J. Gillibert

Devoir surveillé du 23 septembre 2013 — Durée : 40mn

Ce DS porte sur le chapitreBases d’algèbre. Les livres et documents (notes de cours, de TD, etc.) sont interdits, ainsi que les téléphones portables.

Sauf mention explicite du contraire, chacune de vos réponses doit être argumentée.

Exercice 1

Soient PetQ deux propositions. Montrer, à l’aide d’une table de vérité, que l’assertion ((P⇒Q)∧(¬P⇒Q))⇒Q

est toujours vraie.

Exercice 2

1. Montrer que l’on a, pour tout entiern≥1 :

n

X

k=1

k3 = n2(n+ 1)2

4 .

2. Montrer que l’on a, pour tout entiern≥1 :

n

X

k=1

k

!2

=

n

X

k=1

k3.

Exercice 3

Soient E un ensemble, et A,B,C trois parties deE.

1. Exprimer A\B en utilisant uniquement les opérations ∩ et {E. On ne demande pas de justifier cette réponse.

2. Montrer que :

(A\B)\C=A\(B∪C).

1

Références

Télécharger maintenant ( PDF - 1 Page - 127.77 KB )

Documents relatifs

(a) Montrer que pour toutn∈N∗, n X k=1 k(k+ 1

[r]

Exercice 1. Soit k un corps et A = k[X, Y ]/(X

(ıı) d’une famille libre à n éléments dans A n qui n’est pas une base, (ııı) d’une partie génératrice minimale qui ne soit pas une base, (ıv) de sous-module n’ayant pas

Exercice 1. Soit k un corps et A = k[X, Y ]/(X 2 , XY, Y 2 ).

Solution. Ils ne sont pas libres car tous les éléments sont de torsion : n annule tous les éléments. Plus généralement si I est un idéal propre et non nul de A, alors A/I n’est

la fonction k n : R → R est continue, d´ efinie pour tout n ≥ 1 par k n (x) = 0 si x ≤ −1/n, k n (x) = 1 si x ≥ 1/n, avec k n affine sur l’intervalle [−1/n, 1/n].

[r]

la fonction k n : R → R est continue, d´ efinie pour tout n ≥ 1 par k n (x) = 0 si x ≤ −1/n, k n (x) = 1 si x ≥ 1/n, avec k n affine sur l’intervalle [−1/n, 1/n].

En d´ eduire que la suite (f n ) n∈ N converge uniform´ ement vers une fonction f continue et croissante..

( 1 si k = 0 X (X − 1) · · · (X − k + 1) si k ≥ 1 . On dénit aussi des endomorphismes D et ∆ de R [X ] par :

Les relations de la question précédente présentent une certaine analogie avec celles dénissant les coecients du binôme... Application à un calcul

Pourk≥1, on peut écrire (k+ 1) n k =k n k + n k =n n−1 k−1 + n k d'où , en notantS la somme cherchée : S=n n X k=1 n−1 k−1 + n X k=0 n k =n2n−1+ 2n = (n+ 2)2n−1 Autre solution

Une somme qui porte sur les k de K α (x) est plus petite qu'une somme obtenue en ajoutant des termes positifs pour les autres k.. On considère la somme de la

V E ( ( X X ) ) = = i k i k ∑ = = ∑ = = 1 n 1 n x x i k 2 × × P P ( ( X X = = x x k i ) ) − = [] k k E ∑ = = ( 1 n X x ) k 2 × p k

[r]