= 3,93141 kN

(1)

3E4s Résoudre par la méthode des nœuds, la structure triangulée schématisée. Donner aussi la grandeur et la direction des réactions aux appuis. Vous devez faire le diagramme des forces sur chacun des nœuds en y indiquant clairement le symbole de chacune des forces et en y inscrivant la valeur des forces connues. (Compléter la solution)

Détermination des réactions aux appuis :

ΣMA = 0 = Ay×0 + 1×0 + 2×3 + 3×6 – 4 cos 60^o×4 + 4 sin60^o×9 + Jx×0 – Jy×12 = 0

⇒ Jy = (6 + 18 – 8 + 31,1769) ÷ 12 = 3,93141 kN ⇒

J

_y

= 3,93141 kN

ΣMJ = 0 = + Ay×12 – 1×12 – 2×9 – 3×6 – 4 cos 60^o×4 – 4 sin60^o×3 + Jx×0 – Jy×0 = 0. . .

⇒ Ay = (12 + 18 + 18 + 8 + 10,3923) ÷ 12 = 5,53269 kN ⇒

A

y

= 5,53269 kN

ΣFx = 0 = – 4 cos 60^o + Jx = 0 ⇒

J

x

= 2,00 kN

Vérification : ΣFy =? 0 = + 5,53269 – 1 – 2 – 3 – 4 sin 60^o+ 3,93141 = 0 ⇒ OK!

J = Jx²+Jy² = (2² + 3,93141²)^1/2 = 4,410989 kN θJ = tan^-1(Jy / Jx) = tan^-1(3,93141 / 2) = 63,0365^o

A = 5,5327 kN ; θ

A

= 90

^o

; J = 4.4109 kN ; θ

J

= 63,04

^o

G 60^o F4y = 4sin60o

F4x = 4 cos 60^o

3 m

F3 = 3 kN

3 m 3 m 3 m

F1 = 1 kN F4 = 4 kN

F2 = 2 kN

4 m

A

B C

D

E

F H

I

J

y

A

_y

J

x

(2)

203-001 exercice 3E4 D 3.2

Nœud B

OX OY

F1

0 – 1

AB

0 – AB

BC

+ BC 0

ΣFx =

0 + 0 + BC

= 0 ⇒

BC = 0

ΣFy =

– 1 – AB + 0 = 0 ⇒ AB = – 1 kN Nœud A

OX OY

Ay

0 + 5,5327

AB

0 + AB = – 1

AC

+ AC cos θ + AC sin θ

AD

AD 0

Calcule de θ :

θ = tan

^–1

(4÷3) = 53,1301

⁰ ΣFy =+ 5,5327 – 1 + AC sin 53,13^o = 0

⇒ AC =

( – 5,5327 + 1)÷sin 53,13

^o

⇒ AC = – 5,6659 kN

ΣFx =

0 + 0 + AC cos 53,13

^o

+ AD = – 5,6659 cos 53,13

^o

+ AD = 0

⇒ AD =

+ 5,56659 cos 53,13

^o

⇒ AD = + 3,3995 kN Nœud D

OX OY AD

– AD = – 3,3995 0

CD

0 + CD

DF

+ DF 0

ΣFx = – 3,3995 + 0 + DF = 0 ⇒

DF = + 3,3995 kN

ΣFy = 0 + CD + 0 = 0 ⇒

CD = 0

F1 = 1 kN

B BC

AB

AB =

– 1 kN

A

AD

Ay =

5,5327 kN

AC

θ

CD

AD =

+3,3995 kN

DF

(3)

203-001 exercice 3E4 D 3.3

Nœud C

OX OY

F2

0 – 2

CE

+ CE 0

CF

+ CF cos 53,13

^o

– CF sin 53,13

^o CD

0 – CD = 0

AC –

AC cos θ

= + 5,6659 cos 53,13

^o

–

AC sin θ = + 5,6659 sin 53,13

^o BC

– BC = 0 0

ΣFy =

– 2 + 0 – CF sin 53,13

^o

– 0 + 5,6659 sin 53,13

^o

= 0

⇒ CF = (

–2 + 5,6659 sin 53,13

^o

)÷ sin 53,13

^o

⇒

CF = + 3,1659 kN

ΣFx =

0 + CE + (+3,1659) cos 53,13

^o

+ 5,6659 cos 53,13

^o

+ 0 = 0

⇒ CE =

(–3,1659 cos 53,13

^o

– 5,6659 cos 53,13

^o

) = 0 ⇒

CE = – 5,2991 kN Nœud E

OX OY

CE – CE = + 5,2991 0

EG + EG 0

EF 0 – EF

ΣFx =

+ 5,2991 + EG = 0 ⇒ EG = – 5,2991 kN

ΣFy =

0 + 0 – EF = 0 ⇒ EF = 0

Nœud F

OX OY

EF 0 0

DF – DF = – 3,3995 0

CF – CF cos θ

= –3,1659 cos 53,13

^o

+ CF sin θ

= + 3,1659 sin 53,13

^o

F3 0 – 3

FG + FG cos 53,13^o + FG sin 53,13^o

FH + FH 0

ΣFy =

0 + 0 + 3,1659 sin 53,13

^o

–3 +

FG sin 53,13^o

+ 0 = 0 ⇒ FG = + 0,58411 kN

ΣFx =

3,3995 – 3,1659 cos 53,13

^o

+ 0+

(+ 0,58411) sin 53,13^o

+ FH = 0 ⇒ FH = + 4,94858 kN

F2 = 2 kN

BC =

0

CE

AC =

–5,6659 kN

CD =

0

CF θ θ

EF

CE = –5,2991 kN

^EG

E

FG

DF = +3,3995 kN FH

EF =

0

θ θ

F3 = 3 kN CF = +3,1659 kN

(4)

203-001 exercice 3E4 D 3.4

Nœud H

OX OY FH

– FH = – 4,94858 0

HG

0 + GH

HJ

+ HJ 0

ΣFy =

0 + GH + 0 = 0 ⇒ GH = 0

ΣFx =

– 4,94858 + 0 + HJ = 0 ⇒ HJ = + 4,94858 kN

Nœud G

OX OY

EG – EG = 5,2991

0 FG – FG cos θ

= – 0,58411 cos 53,13

^o

–FG sin θ

= – 0,58411 sin 53,13

^o

F

₄

– 4 cos 60

^o

– 4 sin 60

^o

GH 0 0

GI + GI 0

GJ + GJ cos 53,13

^o

– GJ sin 53,13

^o

ΣFy = 0 – 0,58411 sin 53,13ô – 4 sin 60ô + 0 + 0 – GJ sin 53,13ô

= 0 ⇒ GJ = – 4,9142 kN

ΣFx =

+ 5,2991 – 0,58411 cos 53,13

^o

– 4 cos 60

^o

+ 0 + GI + (–4,9142) cos 53,13

^o

= 0

⇒ GI = + 0 kN

Nœud I

OX OY

GI – GI 0

IJ 0 – IJ

ΣFx =

– GI + 0 = 0 ⇒ GI = 0

ΣFy =

0 – IJ = 0 ⇒ IJ = 0

GH

FH =+ 4,94858 kN

HJ

EG = –5,2991 kN

GI

FG = +0,58411 kN

GH =

0

GJ θ

F4y = 4sin60o

F4x = 4 cos 60^o θ