3.2. Forces concentrées forces réparties ⇒ notion de centre de masse 3.3. Forces d’action forces de réaction

CHAPITRE I : STATIQUE DU SOLIDE

4. Bilan de forces

3.2. Forces concentrées forces réparties ⇒ notion de centre de masse 3.3. Forces d’action forces de réaction

3.1. Forces extérieures forces intérieures 2. Conditions d’équilibre d’un solide

1. Définitions : force, solide, corps libre, diagramme du corps libre

3. Isostaticité

2

3.3.3. Liaison avec le “monde extérieur” par l’intermédiaire d’appuis A. Cas d’un système plan : par exemple, une poutre

3.3. Forces d’action forces de réaction

Poutres

• 1 dimension > les 2 autres

• Transmet tous les efforts

• Peut être chargée entre ses extrémités

4

Poutres

http://i-structures.epfl.ch/cours/poutres_f.php Gare routière de Coire, Arch. R. Brosi e Obrist

und Partner, 1993

École primaire de Riva San Vitale, Arch. A. Galfetti, 1972

3.3.3. Liaison avec le “monde extérieur” par l’intermédiaire d’appuis A. Cas d’un système plan : par exemple, une poutre

a) Encastrement

x y

3 degrés de liberté empêchés r = 3 « composantes » de réaction d’appui )

3 ( l + r = A

= 0 l

z A A

y A x

A A

z

y

x

L

L L

1

1 1

Γ

= Γ

+

= A

L

L

Γ

= 3 r A.1. Types d’appuis

3.3. Forces d’action forces de réaction

6

Source: Studer et Frey, Introduction à l’analyse des structures, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 1999

b) Articulation ou rotule ( = appui fixe = appui double)

A

x y

A

= 1 l

A

L

L

y A x

A

A

L

L

L = 1 + 1

= 2 r

2 degrés de liberté empêchés r = 2 composantes de réaction d’appui )

3

( l + r =

8

Source: Studer et Frey, Introduction à l’analyse des structures, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 1999

Source: Viaduc de Verrières sur l’A75, http://www.structurae.info.fr

10

Source: http://labogc.egletons.unilim.fr/TEMP/MERLE/HTML/techniq.htm

Articulation en pied de béquille (à modéliser sous la forme d’une rotule 2D)

c) Rouleau ( = appui mobile = appui simple = appui à dilatation)

A

A

O x

A

= 2 l

x y

A

L

y A A

L

L = 1

= 1 r

1 degré de liberté empêché r = 1 composante de réaction d’appui )

3

( l + r =

12

Source: Studer et Frey, Introduction à l’analyse des structures, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 1999

d) Encastrement à glissière

O x

A A

= 1 l

x y

A

L

Γ

= 2 r

z A A

y A A

z

L

L

1 1 Γ

= Γ

=

2 degrés de liberté empêchés r = 2 composantes de réaction d’appui )

3

( l + r =

14

Appuis réels 2D

• Appuis réels non idéaux dû:

• au frottement,

• à la rouille

• au jeu

• à l’encombrement spatial

Source: Studer & Frey

Rotule ou rouleau?

A.2. Isostaticité

toutes les inconnues

( paramètres déterminant la position d’équilibre + composantes de réaction de liaison)

peuvent être déterminées par les conditions d’équilibre

⇔

Système isostatique

16

!

⇒

Ex. :

A B A B

systèmes isostatiques

A B

système hypostatique

A B A C B

systèmes hyperstatiques

Exemple 1 (1)

A B C

M q

L/2 L/2 L/2

L/4 L/4

F

18

A B C

M qL/2

L/2 L/2 L/2

F

A _x

A _y B _y

x y

L/2

Exemple 1 (2)

Exemple 1 (3)

20

Exercice 2

P

A B

L L

Exercice 3

P

A B

L L

22

Exercice 4

p [N/m]

A

B

L/2 L/2 d

Exercice 5

p[N/m]

A

B

L/2 L/2 d

24

DCL

? Réactions d’appui à l’encastrement en A L

F

L/2 C

M

A B

L/2

x

y L

F

L/2 C

M

A B

L/2

L

L

Γ

FL M F L

L

Az A A

y x

−

= Γ

=

=

2 0

Exercice 6

26

1.5 m 2 m

A B

20 Nm 100 N

C

60° 45°

1.5 m

L_A

L

LCy

N 8 . 3

N 6 . 55

N 1 . 111

≈

−

≈

≈

y x

C C A

L L L

x y

? Réactions d’appui en A et en C

1.5 m 2 m

A B

20 Nm 100 N

C

30°

45°

1.5 m

Exercice 7

B. Cas d’un système spatial

Types d’appuis et isostaticité (généralisation) Solide libre : l = 6 ; r = 0

Solide lié : 0 ≤ l < 6

• 1 degré de liberté empêché par une liaison en un point A 1 « composante » de réaction d ’appui

• 2 degrés de liberté empêchés par une liaison en un point A 2 « composantes » de réaction d ’appui

etc...

28

CHAPITRE I : STATIQUE DU SOLIDE

4. Bilan de forces

3.2. Forces concentrées forces réparties ⇒ notion de centre de masse 3.3. Forces d’action forces de réaction

3.1. Forces extérieures forces intérieures 2. Conditions d’équilibre d’un solide

1. Définitions : force, solide, corps libre, diagramme du corps libre

3. Isostaticité

29

• Elément déformable (entorse au domaine d’étude des corps rigides)

(1) Ressort hélicoïdal (2) Ressort lame (3) Ressort spiralé (montre)

3.3.4. Liaison avec le “monde extérieur” par l’intermédiaire d’un ressort

30 l⁰

A B

∆l >0 F l⁰

A B

∆l >0

l⁰

A B

∆l < 0

l⁰

A B

∆l < 0 l⁰

A B

∆l >0 F -F

F ^-F

3.3.4. Liaison avec le “monde extérieur” par l’intermédiaire d’un ressort

Force de rappel d’un ressort

B

l^o A

l⁰

A B

∆l < 0 F

B

l^o A

l

∆l = élongation du ressort

= force de rappel du ressort F

B

l^o A

l⁰

A B

∆l < 0 F

(b): ressort dur (c) : ressort mou

(a) (b)

(c) F

∆l

(a) : ressortlinéaire ⇔ F = k ∆l

k = constante de rappeldu ressort linéaire (= raideur du ressort linéaire)

O

x

O x

x O

Force de rappel d’un ressort linéaire, si x = élongation du ressort :

( pour suffisamment petit )

x kx

F = − 1

A B

∆l >0

32

? long. libres des ressorts BC et DE

N

= 200 TBD

mg= 200N ; k₁= 4kN/m ; k₂= 6kN/m BC = BD = DE = DH = 1m

m B

C

D

E

120° A

120°

150°

45°

H (1)

(2) Exemple

B 120°

120°

F_BC 120°

T_BD

200N

D 45° _30°

F_DE

T_DH T_BD

l

l

θ

B A

mg L

c(π/2 - θ )

G Rem. : Couple de rappel d’un ressort spiral linéaire

c ∆ θ 1

−

=

Γ

c= coefficient de torsiondu ressort spiral

∆ θ

c θ

B A

Exemple

c

position libre du ressort

1z équilibre

θ

θ ) sin

2

( π mg AG

c − =

⇔

34

Exemples de ressorts spirale

36

Synthèse 2D (1)

Source: Meriam & Kraige

37

Synthèse 2D

(2)

38

Classification des appuis 3D (1)

Source: Guide de la construction mécanique, Ed. Delagrave

39

Classification des appuis 3D (2)