3.2.2. Forces réparties dans un solide quelconque Centre de masse d’un solide

3.2.2. Forces réparties dans un solide quelconque Centre de masse d’un solide

mg

mg

mg a) Détermination expérimentale

etc…

mg

b) Définition et détermination de la position de G

m mg

m

g

mg

axe central

mg Q )

( →

≡

∑ ∫

∞ =

→

=

=

1

d

lim m m

m

n i n i

=

m

Dom

m

g

⇔

m

g’

mg

(axe central)’

Q’

axe central

Q ) G ?

( →

≡

mg

(axe central)’

axe central

Q Q’

G ? )

( →

≡

O

G (a. c.)

(a. c.)’

(a. c.)’’

(a. c.)’’’

G ?

G = de tous les axes centraux = centre de masse du solide

( = centre d’inertie = barycentre ) I

O x

y z

G

? ∃

•

= ?

• OG

?

?

?

=

=

=

G G G

z y x

•

5

P

(m

)

P

(m

)

P

(m

)

∑

=

=

i

m

m ? G (m)

m

g

axe central Q

m

g m

g

P

(m

)

P

(m

)

P

(m

)

m

g

m

g m

g

P

(m

)

P

(m

)

P

(m

) G

? ∃

•

g

g’

G

m

g

axe central Q

m

g m

g

P

(m

)

P

(m

)

P

(m

)

( axe central)’

m

g’

m

g’

m

g’

Q’

Q

m g

≡ G

Q

m g m g’

Q’

b1) système de points matériels isolés

0 ) g m QP

(

C

n 1 i

Q

= ∑

× =

=

∃ G

⇒

0 g ) m QP (

n 1 i

i

× =

⇔ ∑

=

0 GP

m

n

=

⇔ ∑

g k ) m QP (

1 i

i

=

⇔ ∑

=

g de t indépendan G

Q ≡

O O x

y z

P

(m

)

P

(m

)

P

(m

)

∑ ∑

∑

=

=

=

=

=

⇒

i

i i n

i

i n

i

i i

OP m m

m OP m OG

1

1

1

1

0 m

) OP GO

( 0

GP

m

1 i

i i i

n 1 i

= +

⇔

= ∑

∑

= ?

• OG

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

n i

i i G

n i

i i G

n i

i i G

z m m

z

y m m

y

x m m

x

1 1 1

1 1 1

⇒

?

?

?

=

=

=

G G G

z y x

•

? G (m)

( x

,y

,z

)

N.B. : la position du centre de masse ne dépend que

• de la géométrie du solide

• de la répartition de masse dans le solide

B (m

)

A (m

)

axe central

g

x

O ≡

B (m

)

G

A (m

) Cas particulier

B A

B

G

m

m

x x m

= +

? Position de G B (m

)

A (m

)

A B

m m GB

AG =

⇒

( dm ) P Dom O

x

y z

( dm ) P(x,y,z)

Dom O

x

y P

(m

) z

P

(m

)

P

(m

)

b2) système matériel à répartition de masse continue

m

= masse du point P

dm = élément de masse dans un domaine infinitésimal du Dom en P

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

n i

i i G

n i

i i G

n i

i i G

z m m

z

y m m

y

x m m

x

1 1 1

1 1 1

∫

∫

∫

=

=

=

Dom Dom Dom

1 d 1 d

d 1

m m z

z

m m y

y

m m x

x

G G G

∑

=

i

m

m

1

∑ ∫

∞ =

→

=

=

1

d

lim m m

m

n i n i

• Répartition de masse sur une courbe Γ

Γ ds P(x,y,z)

G

+ (dm)

[ ] ^ML

) ( d

) ( d

m = λ P s

λ P =

λ =

Calcul de la position de G

∫

= ( P )d s

m λ

∫

∫

∫

Γ Γ Γ

=

=

=

1 d 1 d

d 1

m m z

z

m m y

y

m m x

x

G G G

Si Γ = arc de courbehomogène : λ(P) = constante le long de Γ et

( l = longueur de Γ )

∫

∫

∫

Γ Γ Γ

=

=

=

1 d 1 d

d 1

s z z

s y y

s x x

G G G

l l l

…

• Répartition de masse sur une surface Σ

[ ] ^{σ = ML}

avec où

S P m ( ) d d

= σ

) ( σ P

=

∫∫

= (P)dS

m σ

∫∫

∫∫

∫∫

Σ Σ Σ

=

=

=

1 d 1 d

d 1

m m z

z

m m y

y

m m x

x

G G G

(dm)

Σ

P (x,y,z)

dS G +

…

Si Σ = surfacehomogène : σ (P) = constante sur Σ et

( S = aire de Σ )

∫∫

∫∫

∫∫

Σ Σ Σ

=

=

=

1 d 1 d

d 1

S S z

z

S S y

y

S S x

x

G G G

• Répartition de masse dans un volume Ω

∫∫∫

= ( P )d V

m ρ

∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫

Ω Ω Ω

=

=

=

1 d 1 d

d 1

m m z

z

m m y

y

m m x

x

G G G

Si Ω= volumehomogène : ρ (P) = constante dans Ω et

∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫

Ω Ω Ω

=

=

=

1 d 1 d

d 1

V V z

z

V V y

y

V V x

x

G G G

V P m ( ) d d

= ρ

où

ρ ( P ) =

[ ] ^{ρ = ML}

Ω

dV

(dm)

P (x,y,z)

+ G

…

Principes de calcul

1. Calcul intégral 2. Tables

3. Principe de symétrie

4. Principe de subdivision (corps

composites)

Calcul intégral

• Choisir un système d’axes

• Déterminer les

bornes d’intégration

• Calculer l’intégrale

b b b

x x x

y y y

y=(b/a)x y=b(x/a)²

Rectangle

a

b

x

y

Triangle

b

x y

y=(b/a)x

Surface limitée par une parabole

a

b

x y

y=b(x/a)

Tables : centre de masse de quelques solides homogènes

G y

R O

π y_G = 2R

y

G R

π 3 y_G = 4R

O

G

h z

surface coniqueO z_G =h/3

h z

O G

4 / h z_G = volume conique

R z_G

8

= 3 volume

hémisphérique O

z G O

z

2 z_G = R surface

hémisphérique G

Principe de symétrie

cône circulaire droit

disque circulaire sphère rectangle hexagone régulier

triangle isocèle demi-sphère triangle rectangle

isocèle cylindre

Ex. : (solides homogènes)

etc …

Principe de subdivision

10 cm 20 cm

10 cm 20 cm

40 cm

30 cm Exemple 1

plaque homogène

x y

O G

G

G

G ? S

S

S

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

3 1 3

1 3

1 3

1

i i i

G i G

i i i

G i G

S y S y

S x S x

i i

cm 7 . 6

cm 3 . 11

≈

≈

G G

y

⇒ x

• Partition du système en n sous-systèmes

• Remplacement de chaque sous-système par son centre de masse affecté de la masse du sous-système

Principe de subdivision

x y

3R

R

G

=O G

3R

O

S1

(1)

R S2

(2)

= 0 y

2

8

1 2

1 _{1 2}

R

S S

x S x

x

S

= −

−

= − !

G

Exemple 2

3R

R

O

Exemple 1

• Plaque rectangulaire en verre normal (5mm), poids surfacique 250N/m², R = 40cm, L = 100cm

• Demi-disque de rayon R en tôle acier (0.8mm), poids surfacique de 120N/m²

• Centre de masse?

L R

G₁ G₂

G

y_G1 y_G2

y_G

Exemple 2

• Tôle aluminium (0.8mm, 0.040kN/m²)

• Découpe circulaire

• Centre de masse?

25cm

25cm

100cm

50cm

20cm G₂ G₁ G

x_G1 x_G2 x_G

Exemple 3

• Centre de masse de la tôle ci-dessous?

120cm

40c m

20cm

40cm 20cm

20cm 50cm

30cm

30cm

x

y

Solution

• Aire en cm², coord. en cm

• A(1)=12000;

• A(2)=3000;

• A(3)=-pi*900/2;

• A(4)=-800;

• x(1)=60;

• y(1)=50;

• x(2)=140;

• y(2)=100/3;

• x(3)=60;

• y(3)=120/3/pi;

• x(4)=120;

• y(4)=40;

• Aire=1.28m²

• x

=75.0cm

• y

=50.8cm