(2) vn= (−1)n+1n Solution: Pour tout entiern,v2n= 1+2n1

TS6 Interrogation 2A 18 septembre 2018 R´epondre aux questions sans d´emonstration.

Calculatrice interdite.

Exercice 1 :

D´eterminer la limite des suites suivantes : (1) un= n³+ 3n−5

2n³−5n²+n

Solution: Pour tout entier n 6= 0, n³+ 3n−5

2n³−5n²+n = 1 + 3

n² − 5 n³ 2−_n⁵ +_n¹2

. Par somme, lim

n→+∞

1 + 3

n² − 5 n³

= 1 et

n→+∞lim 2−_n⁵ +_n¹2

= 2.

Par quotient lim

n→+∞u_n= ¹₂.

(2) v_n= (−1)ⁿ+¹_n

Solution: Pour tout entiern,v2n= 1+_2n¹ . Donc lim

n→+∞v_2n= 1.

Pour tout entiern,v2n+1=−1 +_2n+1¹ Donc lim

n→+∞v2n+1=−1.

Par unicit´e de la limite, on conclut que (vn) n’a pas de limite.

Exercice 2 :

Soit (u_n) la suite d´efinie paru₀ = 2 etu_n+1=u_n+2.

(1) Montrer par r´ecurrence que pour tout entier n, u_n>n.

Solution: Pour tout entier n, on appelle P(n) : u_n>n .

Initialisation :

Pour n= 0,u0 = 2 et 2>0 doncP(0) est vraie.

H´er´edit´e :

Soit nun entier tel que P(n) est vraie.

Montrons queP(n+ 1) est vraie.

u_n>n

Donc un+ 2>n+ 2 Donc u_n+1>n.

Donc P(n+ 1) est vraie.

Conclusion

Pour tout entiern,P(n) est vraie.

(2) En d´eduire lim

n→+∞un. Solution: lim

n→+∞n= +∞et pour tout en- tiern,un>n.

donc par un th´eor`eme de comparaison

n→+∞lim u_n= +∞