Développement du produit de deux sommes et du carré d’une somme
Utilisation du symbole
I. Formule de développement du produit de deux sommes
Soit p et q deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 1.
Soit
u u1, 2, ...,up
un p-uplet de réels et
v v1, 2, ...,vq
un q-uplet de réels.On cherche à développer
1 1
i p j q
i j
i j
u v
.Par simple distributivité de la multiplication sur l’addition, on peut écrire
1 1 1 1
i p j q i p j q
i j i j
i j i j
u v u v
On peut aussi écrire1 1 1 1
i p j q j q i p
i j i j
i j j i
u v u v
.On peut aussi écrire le développement sous la formule d’une somme double :
1 1 1
1
i p j q
i i i j
i j i p
j q
u v u v
.
Il s’agit d’une formule de double distributivité.
II. Développement du carré d’une somme
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1.
Soit
x x1, 2, ...,xn
un n-uplet de réels.On cherche à développer
2
1
i n
i i
x
.En appliquant le résultat du I, on peut écrire une première formule sous la forme d’une somme double :
2
1 1
1
i n
i i j
i i n
j n
x x x
.
En séparant les cas i j et i j, on peut aussi écrire une formule sous la forme de sommes simples :
2
2
1 1 1
1
i n i n
i i i j
i i i n
j n
i j
x x x x
.
Enfin, on peut écrire :
2
2
1 1 1
2
i n i n
i i i j
i i i j n
x x x x
(formule à savoir).Exemple :
Pour tout triplet
