Problème proposé par Claudio Baiocchi
Puce est tout fier de montrer à Zig sa solution de la deuxième énigme de la rubrique A1867- Bienvenue à 2016 dans laquelle il s'agit de trouver un carré parfait dont la somme des chiffres est égale à 2016.
Zig pose alors à Puce les questions suivantes:
Q1 Sais-tu trouver un carré parfait dont la somme des chiffres est égale à 2015? des carrés parfaits dont les sommes des chiffres sont respectivement égales aux dix entiers allant de 2017 à 2026?
Q2 Un entier quelconque n étant donné,on dit qu'il est au rendez-vous des carrés s' il existe un carré parfait dont la somme des chiffres est égale à n. Sais-tu dire quels sont les entiers dont le rendez- vous est manqué?
Q3 Même question que Q2 avec les carrés parfaits exprimés en base 2 puis en base 3..
Pouvez-vous aider Puce à répondre à ces trois questions?
Modulo 9, un carré est égal à 0, 1, 4 ou 7 : la preuve par neuf permet donc d’affirmer qu’il n’existe pas, en base 10, de carré dont la somme des chiffres est égale à 2015, ni 2018, 2019, 2021, 2022 ou 2024.
Pour n≥1, (10n-1)2=102n-2*10n+1 s’écrit avec n-1 chiffres 9, un 8 et un 1 : la somme des chiffres est donc égale à 9n. De même, (10n-2)2=102n-4*10n+4 s’écrit avec n-1 chiffres 9, un 6 et un 4 : la somme des chiffres est égale à 9n+1.
(10n-3)2=102n-6*10n+9, s’écrit avec n chiffres 9 et un 4 : la somme des chiffres est égale à 9n+4. Enfin, (10n-5)2=102n-10n+1+25 s’écrit avec n-1 chiffres 9, un 2 et un 5 : la somme des chiffres est égale à 9(n-1)+7.
Ces formules permettent donc de construire des carrés dont la somme des chiffres est égale à tout nombre congru à 0, 1, 4 ou 7 modulo 9, en particulier 2017, 2020, 2023, 2025 et 2026.
Le rendez-vous est manqué pour tout nombre congru à 2, 3, 5, 6 ou 8 modulo 9.
Pour n≥1, (2n-1)2=22n-2n+1+1, s’écrit en base 2 avec n chiffres 1, ce qui permet de construire un carré dont la somme des chiffres est égale à n’importe quel entier : aucun ne manque le rendez-vous.
Pour n≥1, (3n-1)2=32n-2*3n+1 s’écrit en base 3 avec n-1 chiffres 2 et 2 chiffres1 : la somme des chiffres est donc égale à 2n. De même, pour n≥2, (3n-2)2=32n-3n+1-3n +3+1 s’écrit avec n-1 fois le chiffre 2 et 3 fois le chiffre 1 : la somme des chiffres est donc égale à 2n+1 ; dans le cas n=1, (31-2)2 =1.
Les deux formules ci-dessus permettent de construire des carrés dont la somme des chiffres en base 3 est égale à tout entier, sauf 3, qui manque le rendez-vous : en effet, un carré ne peut être de la forme 3n+2 (car ne peut être congru à 2 modulo 3), ni 2*3n+1=(2k+1)2(car 3n=2k(k+1) serait pair), ni enfin 3n+m+3m+1=(2k+1)2, car alors 3m(3n+1)=4k(k+1), et 3n+1 ne peut être divisible par 8, car 3n=1 ou 3 (mod 8).
