E440. Un jeu de Zig et Puce
Problème proposé par Michel Lafond
Zig et Puce jouent au jeu suivant : sur la table, il y a 8 cartes numérotées 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Chacun à tour de rôle prend une carte présente sur la table et la garde en main. A la fin, chacun multiple les valeurs des 4 cartes qu’il a en main. Celui dont le produit est le plus proche de 300 gagne.
Zig commence. Qui gagnera ?
- - - Solution proposée par Claudio Baiocchi
Zig peut gagner choisissant au départ une des cartes 2, 3 et 4.Tout autre choix permet à Puce de gagner.
On va montrer le début de quelques parties :
Z=4; P=2; Z=3: le seul choix qui permet à Zig de gagner;
Z=4; P=8: la pire des réponses de Puce car Zig peut gagner choisissant 1, 5, 6 ou 7;
Z=1, choix perdant pour Zig; P=2: l’unique choix gagnant pour Puce;
Z=8, le pire des choix perdant pour Zig, car Puce peut gagner choisissant 2, 3 ou 4.
Naturellement ces affirmations ne sont pas du tout évidentes.Même en partant d’un programme qui examine l’une après l’autre les 8! = 40320 possibilités, la recherche des stratégies gagnantes n’est pas du tout simple.
La voie la meilleure, à notre avis, consiste à faire appel à un langage de programmation qui autorise la récurrence.Dans ce type de langage, on arrive aisément à écrire un programme qui joue comme un
redoutable adversaire: il ne fera pas d’erreur lorsqu’il peut gagner et, lorsqu’il n’a pas de choix gagnants, il choisira un coup qui maximise le nombre de mauvais choix laissés à l’adversaire…
Par ailleurs, pour ce qui concerne la stratégie d’un humain privé de l’aide d’un ordinateur, il peut être intéressant d’avoir un algorithme qui donne des indications uniquement sur son propre score au lieu de comparer, pour chacune des configurations possibles, ce score à celui obtenu par l’adversaire. On va dégager cette idée dans le cadre d’un problème un peu plus général:
On se donne trois nombres, x, y et C.On cherche une condition, exprimée en termes de x, de C et du produit P = x*y, nécessaire et suffisante à pour que x soit plus proche que y de la cible C.
La réponse utilise une séparation de cas en fonction de := C2- P :
Si ≤ 0 il faut et il suffit x≤√P
Si >0 il faut et il suffit que (x ≤ C-√) ou√P ≤ x ≤ C+√)
Remarque La démonstration est immédiate: on remplace |x-C| ≤ |y-C| par |x-C|2 ≤ |y-C|2, qu’on réécrit sous la forme (x+y-2C)(x-y) ≤0; puis on remplace y par P/x et on étudie le signe du trinôme x2-2Cx+P. Si le trinôme est toujours positif on aboutit à x ≤ P/x; sinon, compte tenu de la relation C-√ < √ P, on aboutit à l’autre condition. Revenant au problème proposé, soient x et y les produits des cartes que les deux joueurs ont choisies; leur produit P vaut 8! = 40320 et la cible C est 300; on est donc dans le deuxième cas et (pour chacun des deux joueurs) la stratégie consiste à essayer de garder son propre produit suffisamment petit (au plus 77) ou bien assez grand mais pas trop (au moins 201, mais 522 au plus).
