Pour mémoire (car ce n'est pas ce que semble dire l'énoncé), si Puce commence, Zig a une stratégie gagnante

(1)

E448 – L’art de composer

Zig et Puce choisissent à tour de rôle à partir de la gauche les chiffres a,b,c,d,e,f tous distincts d’un nombre entier de 6 chiffres n = abcdef avec a ≥ 1. Zig est le vainqueur si n est un nombre composé. Qui a une stratégie gagnante ?

Solution par Patrick Gordon

Parmi les nombres composés, il y a notamment ceux qui se terminent par les chiffres 0, 2, 4, 5, 6, 8, que nous appellerons les "chiffres bleus".

Pour mémoire (car ce n'est pas ce que semble dire l'énoncé), si Puce commence, Zig a une stratégie gagnante. En effet, en cinq coups dont trois seulement à l'initiative de Puce, ce dernier ne peut obtenir que tous les chiffres bleus aient été utilisés. Il en restera donc au moins un, que Zig pourra utiliser au sixième coup, obtenant ainsi un nombre composé. Donc Zig, non seulement a une stratégie gagnante, mais encore gagne à tout coup (pour autant qu'il ne fasse pas de sottise in fine!).

Si Zig commence (ce qui semble conforme à l'énoncé), il ne peut pas être assuré que Puce n'aura plus, au sixième coup, d'autre choix que l'un des chiffres bleus, car il ne peut faire tomber que trois des quatre chiffres 1, 3, 7, 9, que nous appellerons les "chiffres rouges" (et Puce ne sera pas assez sot pour en jouer un).

Zig a-t-il une stratégie gagnante? À l'évidence, il faut, à tout le moins, qu'il ne joue que des chiffres rouges. Il ne laissera ainsi à Puce, pour le sixième coup, que des chiffres bleus et un chiffre rouge. Il doit donc veiller à ce que, même en jouant ce dernier, Puce ne puisse pas former un nombre premier.

Il nous faut recenser méthodiquement tous les déroulements possibles. Nous supposerons tout d'abord, jusqu'à éventuelle mention contraire, que Zig commence par jouer 1.

 Cas de 10 (Zig joue 1, Puce joue 0)

Si Zig joue ensuite 3, il faut considérer les options 2, 4, 5, 6, 8 de Puce au quatrième coup. Zig jouera ensuite 7 ou 9 au cinquième coup et Puce ne pourra jouer qu'un chiffre bleu ou 7 ou 9 respectivement.

Ainsi, par exemple, si la partie commence par 1032 et que Zig joue 7, Puce ne peut espérer avoir n premier qu'en jouant 9 (et non pas un nombre bleu), mais 103279 = 11 × 41 × 229 est composé.

En procédant ainsi pour les cinq valeurs possibles du quatrième chiffre, on constate que tous les nombres 103q79 ou 103q97 (avec q = 2, 4, 5, 6, 8) sont composés.

Première conclusion donc :

Si la partie commence par 10, Zig doit jouer 3 puis 7 ou 9.

(2)

Si Zig joue ensuite 3,

- Puce peut jouer 0 et aussi bien 123079 que 123097 sont composés, - Puce peut jouer 4 et seul 123497 est composé,

- Puce peut jouer q = 5, 6 ou 8 et aussi bien 123q79 que 123q97 sont composés.

Deuxième conclusion :

Si la partie commence par 12, Zig doit jouer 3 puis 9.

En procédant comme ci-dessus, on établit que Zig peut jouer 3 puis 7 ou 9, sauf dans le cas 1438 où il ne peut jouer que 9 car 143879 est premier.

D'où troisième conclusion :

En procédant comme ci-dessus, on constate que tous les nombres 153q79 ou 153q97 (avec q

= 0, 2, 4, 6, 8) sont composés.

D'où quatrième conclusion :

En procédant comme ci-dessus, on constate que tous les nombres 163q79 ou 163q97(avec q = 0, 2, 4, 5, 8) sont composés.

D'où cinquième conclusion :

En procédant comme ci-dessus, on constate que Zig ne peut pas cette fois jouer 3 au troisième coup, car Puce peut alors jouer 4 et aussi bien 183479 que 183497 sont premiers.

En revanche, il peut jouer 7. On constate que tous les nombres 187q39 ou 187q93 (avec q = 0, 2, 4, 5, 6) sont composés, sauf 187639 qui est premier (mais 187693 est composé).

D'où sixième conclusion :

Conclusion générale

(3)

Si Zig commence, il a une stratégie gagnante : - Au premier coup, Zig joue 1,

- Si, au deuxième coup, Puce joue 8, Zig joue 7 au troisième; dans tous les autres cas, il joue 3,

- Quoi qu'ait joué Puce au quatrième coup, Zig joue 9 au cinquième.

Analyse complémentaire

Nous avons vu que Zig (qui commence) a une première stratégie gagnante, qui consiste en ce que :

- Au premier coup, Zig joue 1,

- Si, au deuxième coup, Puce joue 8, Zig joue 7 au troisième; dans tous les autres cas, il joue 3,

- Quoi qu'ait joué Puce au quatrième coup, Zig joue 9 au cinquième.

Y a-t-il d'autres stratégies gagnantes?

L'idéal pour Zig serait de ne laisser à Puce au 6^ème coup que des chiffres bleus (0, 2, 4, 5, 6, 8), mais il n'est pas possible de faire tomber les 4 chiffres rouges (1, 3, 7, 9) en 3 coups.

Zig peut donc, au mieux, ne laisser à Puce, pour le sixième coup, que des chiffres bleus et un ou deux chiffres rouges.

Dans la première stratégie, nous n'avons pas utilisé le fait que, parmi les nombres composés, outre ceux qui se terminent par un chiffre bleu, il y a aussi ceux divisibles par 3, c’est-à-dire dont la somme des chiffres est divisible par 3.

Une idée serait que Zig laisse à Puce au 6^ème coup un seul chiffre rouge mais tel que, quoi que joue Puce, il forme un nombre divisible par 3.

Or c'est impossible. En effet, Zig devra jouer 3 chiffres rouges et Puce 1. Au total, les 4 chiffres rouges auront été joués, valant en tout 1 + 3 + 7 + 9 = 20 = 2 mod.3. Or, il n'est pas possible que, quelques 3 chiffres bleus que joue Puce, leur total vaille 1 mod.3. Exemple : si Puce joue 0 au 2^ème coup et 5 au 4^ème, le nombre n comprendra les chiffres 0, 1, 3, 5, 7, 9 dans un certain ordre et la somme de ses chiffres vaudra 1 mod. 3.

Il faut donc envisager que Zig laisse à Puce 2 nombres rouges (de même valeur mod.3, afin de ne laisser à Puce qu'un choix minimal, soit : 1 et 7 ou 3 et 9) et joue de manière telle que la somme des 5 premiers chiffres joués vaille 2 dans le premier cas, 0 dans le second. Quoi que joue alors Puce, il formera un nombre composé.

Zig doit donc jouer 2 chiffres rouges (de même valeur mod.3) et 1 bleu.

1. Zig a décidé de jouer 1, 7 et un bleu

Il doit donc laisser à Puce 3 et 9 et veiller à ce que la somme des 5 premiers chiffres vaille 0 mod. 3.

(4)

Notons M(abc…) la valeur mod.3 du nombre abc…

Si Zig joue d'abord 1

 cas de 10 (Zig joue 1, Puce joue 0) Zig joue ensuite 7.

Si Puce joue 2, M(1072) = 1; Zig jouera 8 et M(10728) = 0 Si Puce joue 4, M(1074) = 0; Zig jouera 6 et M(10746) = 0 Si Puce joue 5, M(1075) = 1; Zig jouera 8 et M(10758) = 0 Si Puce joue 6, M(1076) = 2; Zig jouera 4 et M(10764) = 0 Si Puce joue 8, M(1078) = 1; Zig jouera 5 et M(10785) = 0 Dans ce cas, Zig gagne

Si Puce joue 4, M(1274) = 2. Il faudrait que Zig joue alors un chiffre égal à 1 mod. 3, soit 1, 4 ou 7, mais ils sont déjà pris.

Inutile d'aller plus loin : si Zig joue 1, il ne peut pas gagner au titre de la divisibilité par 3 pour tout jeu de Puce.

Si Puce joue 2, M(7012) = 1; Zig jouera 8 et M(70128) = 0 Si Puce joue 4, M(7014) = 0; Zig jouera 6 et M(70146) = 0 Si Puce joue 5, M(7015) = 1; Zig jouera 8 et M(70158) = 0 Si Puce joue 6, M(7016) = 2; Zig jouera 4 et M(70164) = 0 Si Puce joue 8, M(7018) = 1; Zig jouera 5 et M(70185) = 0 Dans ce cas, Zig gagne

Si Puce joue 4, M(7214) = 2. Il faudrait que Zig joue alors un chiffre égal à 1 mod. 3, soit 1, 4 ou 7, mais ils sont déjà pris.

Inutile d'aller plus loin : si Zig joue 7, il ne peut pas gagner au titre de la divisibilité par 3 pour tout jeu de Puce.

(5)

2. Zig a décidé de jouer 3, 9 et un bleu

Il doit donc laisser à Puce 1 et 7 et veiller à ce que la somme des 5 premiers chiffres vaille 2 mod. 3.

 cas de 30 (Zig joue 3, Puce joue 0) Zig joue alors 9.

On peut voir que, dans ce cas, Zig gagne.

 cas de 32 (Zig joue 3, Puce joue 2) Zig joue toujours 9.

On peut voir que, dans ce cas, Zig gagne.

Si Puce joue 0, M(3490) = 1; Zig jouera 7 et M(34907) = 2 (exceptionnellement, Zig aura joué 3 rouges, mais il ne restera à Puce que 1 et des bleus : n sera multiple de 2, de 5 ou de 3).

Si Puce joue 2, M(3492) = 0; Zig jouera 8 et M(34928) = 2.

Si Puce joue 6, M(3496) = 1; Zig jouera 7 et M(34967) = 2 (même jeu exceptionnel que dans le premier cas ci-dessus).

Dans ce cas aussi, Zig gagne.

(6)

Si Puce joue 4, M(3694) = 1; Zig jouera 7 et M(36947) = 2 (même jeu exceptionnel que dans les deux cas ci-dessus).

CONCLUSION

Zig a une stratégie gagnante qui consiste à ne laisser à Puce au 6^ème coup que le choix entre un nombre n terminé par un chiffre pair (0, 2, 4, 6, 8) ou un 5 (donc divisible par 2 ou par 5) et un nombre n divisible par 3.

Il suffit pour cela que Zig joue 3 au premier coup, 9 au 2^ème et un chiffre approprié au 5^ème.