A471. Les trésors d'Ispahan
De retour d’Ispahan, Zig présente à Puce sacs qui contiennent chacun 100 pièces de monnaie de la dynastie Kadjar. Les pièces pèsent toutes 10 grammes chacune à l’exception de 100 pièces plus légères qui se trouvent dans un seul sac et pèsent 9 grammes chacune.
Puce dispose d’une balance électronique qui affiche en grammes le poids des objets pesés avec un plafond de 1 kilogramme. Après quelques minutes de réflexion, Puce affirme que pour déceler le sac des pièces légères, pesées au minimum sont nécessaires. Il ajoute qu’il lui faudrait une pesée et deux pesées supplémentaires si Zig lui présentait respectivement sacs et sacs (avec dans les deux cas toujours un seul sac de pièces légères à identifier).
Trouver et .
Source : olympiades iraniennes de mathématiques
Solution
Proposée par Fabien Gigante
Procéder à une pesée de sacs numérotés de à revient à prendre dans chaque sac un nombre de pièces et de placer toutes ces pièces sur la balance. La pesée est valide si ∑ . Dans ce cas, si le sac contenant les pièces plus légères porte le numéro , le nombre affiché est ∑ .
Cette mesure nous permet alors de déduire ∑ et donc d’identifier tous les tels que . Autrement dit, chaque pesée permet d’isoler un certain nombre de sacs susceptibles de contenir les pièces plus légères. Ceux-là devront faire l’objet de pesées supplémentaires pour être départagés.
On observe que la valeur des importe peu, seul le nombre des valeurs identiques intervient. On appelle le nombre maximum de valeurs identiques de . Pour faire le moins de pesées possibles, il convient de choisir le plus petit possible. Compte tenu du plafond de la balance, on doit en outre minimiser la somme des et s’assurer qu’elle est inférieure ou égale à 100.
On appelle donc « pesée de type » de sacs, la pesée telle que ⌊ ⁄ ⌋.
Autrement dit, on prend 0 pièce dans les premiers sacs, 1 pièce dans chacun des sacs suivants, puis 2 pièces dans chacun des sacs suivants, etc.
Par construction, et ∑ minimale pour cette valeur de .
Possible si ∑ ⌊ ⌋ ⌊ ⌋ (⌊ ⌋ ) , ce qu’il conviendra de vérifier par la suite.
Lorsque , on peut utiliser une unique « pesée de type 1 ». On vérifie que ∑ . On obtient alors , et donc .
∑
2 1 1 1 0 1
3 1 1 3 0 1 2
4 1 1 6 0 1 2 3
5 1 1 10 0 1 2 3 4
6 1 1 15 0 1 2 3 4 5
7 1 1 21 0 1 2 3 4 5 6
8 1 1 28 0 1 2 3 4 5 6 7
9 1 1 36 0 1 2 3 4 5 6 7 8
10 1 1 45 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
11 1 1 55 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
12 1 1 66 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
13 1 1 78 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
14 1 1 91 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Lorsque , on utilise une « pesée de type 14 » pour nous ramener au cas précédant.
On vérifie ∑ . On obtient bien . Deux pesées sont donc nécessaires, on a . ∑ … … … …
15 14 2 1 0 1
14 2 0 1 1
56 14 2 84 0 1 1 2 3
57 14 2 88 0 1 1 2 3 4
14 2 0 1 1 2 3 4
100 0 1 1 2 3 4 4 4 4
Lorsque , on utilise une « pesée de type 60 » pour nous ramener au cas précédant.
On vérifie ∑ . On obtient bien . Trois pesées sont donc nécessaires, on a . Lorsque , on utilise une « pesée de type » pour nous ramener au cas précédant. On a alors
∑ , , et .
Lorsque , on utilise une « pesée de type ». On a alors ∑ et .
En résumé, on obtient au final :
0
1 1
3
⌊ ⌋
Etant donné qu’un sac supplémentaire nécessite une pesée supplémentaire, alors
1 0 2 1 2 1
14 1 15 2 28 2
60 2 61 3 112 3
Etant donné que le double de sacs nécessite deux pesées supplémentaires, il vient :
On conclut :
et
