A701 - La pesée piégée Solution
Tous les tas étant mal étiquetés, il y a seulement deux possibilités d’étiquetage correct : - E1 : le 1er tas est fait de pièces normales, le 2ème est constitué des pièces lourdes et les pièces légères se trouvent dans le 3ème.
- E2 : le 1er tas est fait de pièces lourdes, les pièces légères sont dans le 2ème tas et les pièces normales appartiennent au 3ème tas.
Dans le premier cas, le poids total des pièces est de 5*2 + 3*3 +9*1 = 28 grammes alors que dans le second, il est de 5*3 + 3*1 + 9*2 = 36 grammes.
On cherche à constituer deux groupes de pièces dont le premier est constitué de x pièces extraites du tas n°1, y du tas n°2 et z du tas n°3 et dont le second contient par différence (5 – x) pièces extraites du tas n°1, (3 – y) du tas n°2 et (9 – z) du tas n°3. On a 0 x 5, 0 y 3 et 0 z 9 .
Les deux groupes de pièces s’équilibrent sur les plateaux d’une balance Roberval si et seulement si :
- étiquetage E1 : 2x + 3y + z = 2(5 – x) +3(3 – y) + 9 – z. D’où 2x + 3y + z = 14 - étiquetage E2 : 3x + y + 2z = 3(5 –x) + 3 – y + 2(9 – z). D’où 3x + y + 2z = 18 Les deux équations linéaires précédentes doivent être satisfaites quels que soient les étiquetages.
Après élimination de la variable z, il découle x + 5y = 10, équation qui n’a que deux solutions entières en x et y telles que 0 x 5, 0 y 3:
x = 5, y=1, donc z = 1 et x=0, y=2, donc z = 8.
Ces deux solutions aboutissent à la même pesée faite avec une balance Roberval .Sur le plateau de gauche on met 5 pièces du tas A, 1 pièce du tas B et 1 pièce du tas C et sur le plateau de droite 2 pièces du tas B et 8 pièces du tas C.
