Enoncé A718 (Diophante) La balance du moindre effort
On dispose d’un très grand nombre de pièces de même apparence, les unes pesant 10 grammes et les autres pesant 9 grammes, que l’on répartit par piles de 24 pièces toutes de même poids. On choisit six piles parmi les- quelles il y a un nombre inconnu N de piles de 24 pièces de 10 grammes (N = 0 ou 1 ou 2 . . .ou 6). On vous demande d’identifier les piles selon le poids des pièces qu’elles contiennent, en effectuant des pesées avec une balance de votre choix. Comme vous êtes partisan de la loi du moindre ef- fort, vous prenez une balance électronique qui mesure le poids en grammes d’une collection quelconque d’objets. Quel est le nombre minimum de pe- sées qui vous permet de résoudre l’énigme ?
Pour les adeptes d’un plus grand effort : même question avec un trébuchet qui se substitue à la balance électronique.
Nota : on suppose que la balance électronique comme le trébuchet ont les mêmes qualités : justes, sensibles, précises, fidèles,. . .
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
1) Si les piles étaient plus fournies, j’y prendrais respectivement 1, 2, 4, 8, 16 et 32 pièces, pour peser ce lot de 63 pièces. La différence entre ce poids et 630 grammes est un nombre entier de grammes que j’écris en base 2 pour le décomposer en somme de contributions 1, 2, 4, 8, 16 ou 32 grammes (au plus une de chaque sorte). Ainsi, si la 6e pile est faite de pièces de 9 grammes, le déficit atteindra ou dépassera 32 grammes ; sinon, on conclut que la 6e pile est faite de pièces de 10 grammes.
Les piles étant limitées à 24 pièces, on peut rechercher une autre combinai- son de nombres de pièces prises dans chaque pile, et fournissant des totaux différents quand la composition des piles est différente. Une formulation équivalente est : former un ensemble de 6 entiers positifs tel que les 64 sous- ensembles donnent des totaux tous distincts. Un programme d’exploration fournit la combinaison 11, 17, 20, 22, 23, 24 pièces, qui donne 64 valeurs distinctes de poids total, de 1053 à 1170 grammes, selon la composition des piles.
a, b, c, d, e, f désignant les piles dont on prend respectivement 11, 17, 20, 22, 23, et 24 pièces, les piles de pièces de 9 grammes sont, selon le poids total (s’il est<1170 grammes) :
1053(a, b, c, d, e, f), 1064(b, c, d, e, f), 1070(a, c, d, e, f), 1073(a, b, d, e, f), 1075(a, b, c, e, f), 1076(a, b, c, d, f), 1077(a, b, c, d, e), 1081(c, d, e, f), 1084(b, d, e, f), 1086(b, c, e, f), 1087(b, c, d, f), 1088(b, c, d, e), 1090(a, d, e, f), 1092(a, c, e, f), 1093(a, c, d, f), 1094(a, c, d, e), 1095(a, b, e, f), 1096(a, b, d, f), 1097(a, b, d, e), 1098(a, b, c, f), 1099(a, b, c, e), 1100(a, b, c, d), 1101(d, e, f), 1103(c, e, f), 1104(c, d, f), 1106(b, e, f), 1125(d, e), 1105(c, d, e), 1107(b, d, f), 1109(b, c, f), 1110(b, c, e), 1111(b, c, d), 1112(a, e, f), 1113(a, d, f), 1114(a, d, e), 1115(a, c, f), 1116(a, c, e), 1117(a, c, d), 1118(a, b, f), 1119(a, b, e), 1120(a, b, d), 1122(a, b, c), 1123(e, f), 1124(d, f), 1125(d, e), 1126(c, f), 1127(c, e), 1128(c, d), 1129(b, f), 1130(b, e), 1131(b, d), 1133(b, c), 1135(a, f), 1136(a, e), 1137(a, d), 1139(a, c), 1142(a, b), 1146(f), 1147(e), 1148(d), 1150(c), 1153(b), 1159(a).
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2) Quatre pesées de trébuchet suffisent en utilisant une seule pièce de chaque pile (que je notea, b, c, d, e, f), à cela près qu’on ne peut distinguer les cas N = 0 etN = 6 (pesées toutes équilibrées).
Première pesée :a, b, cdans le plateau gauche,d, e, f dans le plateau droit, ce que je noteabc/def. Le résultat est notéGsi la balance penche à gauche (abc plus lourd que def), D si la balance penche à droite, E si les deux plateaux s’équilibrent.
Deuxième pesée : af /cd Troisième pesée : ad/be
Quatrième pesée : selon le résultat des 3 premières
– ac/bd si c’est DEG (D pour la première, E pour la deuxième,G pour la troisième) ou GED;
– ad/cf si c’est DGE ou GDE; – ae/cf si c’est DDE ou GGE;
– bd/ef si c’est DDG, DGG, EDG, EEG, EGD, GDD, GGD;
– b/c dans les autres cas (DDD, DED, DEE, DGD, EDD, EDE, EED, EEE, EGE, EGG, GDG, GEE, GEG, GGG).
Les résultats s’interprètent au moyen de la table de décision ci-dessous (lire les pièces de 9 grammes dans la ligne des résultats R1R2 des deux premières pesées et dans la colonne R3R4 des deux dernières).
DD DE DG ED EE EG GD GE GG
DD − a acf ab abf abcf abe − abcef
DE abd abcdf ac − abc ace abce bcf b
DG − abcd acd abcde bcd c − bce bc
ED abdf af − − ae acef − bf abef
EE − ad acdf abde − cf − be bcef
EG cd acde − bd bcdf − − bcde ce
GD adef adf − abdef aef f bef ef −
GE acdef ade df bdf def − bdef e cef
GG d − cdf de cde cdef bde bcdef −
Remarque sur la question 1.
En retranchant des nombres 11, 17, 20, 22, 23, 24 le plus petit d’entre eux, on obtient 6, 9, 11, 12, 13 pour 5 piles limitées à 13 pièces, puis 3, 5, 6, 7 pour 4 piles limitées à 7 pièces, puis 2, 3, 4 pour 3 piles limitées à 4 pièces, avec toujours la même propriété. Celle-ci est héritée, du fait qu’en l’absence d’entiers “petits” (par comparaison au plus grand entier), le sous-ensemble le plus nombreux a toujours le plus grand total ; deux sous-ensembles de même total ont alors même cardinal, et retrancher un même nombre à chaque élément laisse subsister l’égalité.
La question de l’ensemble dont le plus grand élément a la plus petite valeur faisait l’objet de l’énoncé 46 dans la revue Quadrature. Avec Pierre Bar- nouin j’y ai présenté (Quadrature no18, mai-juin-juillet 1994) une contri- bution sur la construction de proche en proche de ces ensembles, basée sur la remarque précédente.
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