Soit m grammes le poids d’une pièce normale.

A728. La pesée miraculeuse **

A7. Problèmes de pesées Problème proposé par Raymond Bloch

On vous présente 2017 pièces de monnaie d'apparence identique mais 36 d'entre elles sont fausses: certaines ont un gramme en plus et d'autres un gramme en moins.

Vous disposez d'une balance à deux plateaux équipée d'une aiguille permettant de lire immédiatement la différence de poids exprimée en grammes entre les deux plateaux.

Seriez vous capable, grâce à une seule pesée, de dire si une pièce prise au hasard est bonne ou fausse ?

Proposition

Soit m grammes le poids d’une pièce normale.

Une pièce légère pèse (m-1) grammes et une pièce plus lourde pèse (m+1) grammes.

L’exercice étant diophantien… considère que le poids m d’une pièce est entier.

Procédure

Nous allons prendre une pièce arbitraire et la mettre de côté.

Ensuite placer les 2016 autres pièces sur le plateau gauche.

La différence donne alors le poids des 2016 pièces de gauche puisqu’à droite il y a 0g.

Si la différence est PAIRE  nous avons mis de côté une pièce normale SINON c’est une pièce FAUSSE.

Démo :

Soit n le nombre de pièces légères et (36-n) le nombre de pièces lourdes.

Si 1 pièce légère mise de côté ,

nous aurons à gauche sur la balance un poids de 2016*m – (n-1)*1 + (36-n)*1 =



Si 1 pièce lourde mise de côté ,

nous aurons à gauche sur la balance un poids de 2016*m – n*1 + (36-n-1)*1 =



Si 1 pièce normale mise de côté,

nous aurons à gauche sur la balance un poids de 2016*m – n*1 + (36-n)*1 =



Nous constatons que si m poids d’une pièce normale est un entier,

nous obtenons une différence paire lorsque nous mettons de côté une pièce normale et un résultat impair lorsque nous mettons de côté une pièce fausse.

La procédure s’en déduit immédiatement.