A726- La balance à trois plateaux (1er épisode) [**** à la main]
On a neuf boules d'apparences identiques mais de poids tous différents et on souhaite les classer par ordre décroissant de poids.
On dispose d'une balance très particulière conçue à l'époque d'Al Khazini (permière moitié du XIIième siècle) qui comporte trois plateaux avec trois bras faisant entre eux un angle de 120°.
Au cours d'une pesée on place une boule sur chacun des plateaux : le plateau le plus bas porte la boule la plus lourde, le plateau le plus haut porte la boule la plus légère et l'on repère la boule au poids médian dans le plateau qui occupe une position intermédiaire.
Déterminer le nombre minimum de pesées qui permettent de classer les neuf boules.
Solution proposée par Marie-Christine Piquet
On peut former 3 lots de 3 boules chacun . On réalise 3 pesées donnant 3 triplets ordonnés ( a , b , c ) , ( d , e , f ) & ( g , h , i ) .
a , b , c ... sont les étiquettes propres à chacune des 9 boules testées .
La quatrième pesée va ordonner les 3 boules médianes b , e & h . On obtient un nouveau rangement des 3 triplets , par exemple : ( d , e , f ) , ( a , b , c ) & ( g , h , i )
ces 3 groupes peuvent être appelé lourd ( L ) , moyen ( m ) et léger ( l ) . Dans chacun de ces triplets il y a aussi les boules L , m , l .
D'où le classement provisoir : LL , Lm , Ll , mL , mm , ml , lL , lm , ll
A partir de cette quatrième pesée on obtient un quintuplet ordonné comportant les 5 boules suivantes : LL , Lm , mm , lL , ll correspondant aux cinq boules :
( d , e , b , h , i ) ; mais pour l'instant il n'est pas dit que LL (lourd-lourd) est la plus lourde , et pas dit non plus que ll (léger-léger) soit la plus légère .
Et de même on ne sait pas si la lourde légère ( Ll ) est plus lourde que la légère lourde ( lL ) . On va donc les peser avec la boule médiane b ( mm ) .
Après cette cinquième pesée on obtient par exemple ce triplet ordonné : ( lL , mm , Ll ) correspondant aux boules ( g , b , f ) dans ce cas .
A l'issue de la cinquième pesée , la boule médiane m est la seule bien placée par rapport aux 8 autres ; on peut maintenant être confronté à 2 cas .
a) g et f ( lL & Ll ) entourent b (mm) ; ( g , b , f ) . Le schéma sera le suivant : d , e , g , a , b , f , c , h , i . Il y a dans ce cas 4 boules de chaque côté de m .
mais comme les boules d et e à gauche d'une part , et les boules h et i d'autre part sont déjà ordonnées , il suffit alors de 1 à 2 pesées maxi dans chaque camp .
1) à gauche on compare e , g , a puis d , g , a si le triplet ordonné est différent de ( e , g , a ) ; 2 pesées maximums
2) à droite on compare c , h , i puis f , h , i si le triplet ordonné est différent de c , h , i ; 2 pesées maximums .
b) g et f sont toutes les deux plus lourdes où plus légères que m ; dans ce cas une des deux est restée dans son camp qui compte alors 5 boules . De l'autre côté de m
il ne reste plus que 3 boules . Le schéma sera le suivant par exemple : d , e , g , f , a _ m _ c , h , i . On rappelle que dans ce cas le triplet ( d , e , f ) est déjà ordonné .
1) une pesée ( c , h , i ) suffit à droite pour placer la boule c
2) 3 pesées maximums sont nécessaires à gauche pour placer les boules g et a , et à ordonner les 5 boules d , e , g , f & a . Dans le meilleur des cas , celui où le résultat de la pesée g , f & a donne le triplet ordonné ( f , g , a ) ou ( f , a , g ) , une pesée suffit .
Dans les 2 cas de figures : a) ou b) , 7 pesées suffiraient dans le meilleur des cas . Dans le pire des cas 9 pesées s'avéreraient nécessaires .
