La sphère et la boule
I) Généralités :
Définition :
Soit O un point de l’espace et R un nombre décimal positif donné.
On appelle sphère de centre O et de rayon R l’ensemble de tous les points de l’espace situés à la distance R du point O.
Exemple :
Ci-contre, une sphère de centre O et de rayon R.
a) Les segments [AB], [CD] et [EF] sont des diamètres de la sphère. On dit que les points A et B, C et D, E et F sont diamétralement opposés.
b) Les cercles rouges de centre O et passant par A et B, C et D, E et F sont appelés des grands cercles : ce sont des cercles de centre O et qui ont le même rayon que celui de la sphère. ( Pour le globe terrestre, le cercle de centre O et passant par A et B est appelé l’équateur ).
Le cercle bleu n’est pas un grand cercle car son centre n’est pas le centre de la sphère et son rayon n’est pas égal à R : on l’appelle un petit cercle.
c) On rappelle que pour un solide représenté perspective cavalière :
• les segments cachés sont représentés en pointillés.
• deux segments qui ont la même longueur ne sont pas forcément représentés par deux segments de même longueur. Par exemple, les segments [OF] et [OD] qui sont deux rayons de la sphère sont théoriquement de la même longueur mais sont représentés ici par deux segments de longueurs différentes.
d) L’intérieur de la sphère, c’est-à-dire l’ensemble des points M dont la distance au point O est inférieure à R, s’appelle une boule de centre O et de rayon R.
e) On ne peut pas construire le patron d’une sphère.
II) Surface d’une sphère et volume d’une boule :
1) Surface d’une sphère : Propriété :
La surface d’une sphère de rayon R est S = 4πR² Exemple :
La surface d’une sphère de rayon R = 6 m est : S = 4 × π × 6²
S ≅ 4 × 3,14 × 36 S ≅ 452,16
La surface d’une sphère de rayon 6 m est environ 452,16 m²
2) Volume d’une boule : Propriété :
Le volume d’une boule de rayon R est V = πR3
Exemple :
Le volume d’une boule de rayon R = 4 m est : V = × π × 43
V ≅ × 3,14 × 64 V ≅ 267,9
Le volume d’une boule de rayon 4 m est environ 267,9 m3
III) La sphère terrestre : 1) Présentation :
La Terre est une sphère (légèrement aplatie aux pôles) dont le rayon est arrondi à 6 400 km. Le segment vert d’extrémités les deux pôles est un diamètre de la Terre.
L'équateur ( cercle rouge ) est un grand cercle de la Terre; sa longueur est donc :
L = 2 × π × R où R est le rayon de la Terre.
L ≅ 2 × 3,14 × 6 400
L ≅ 40 000 km, arrondi à 1 000 km.
La longueur de l’équateur est environ 40 000 km.
Tous les méridiens sont d'autres grands cercles, passant eux par les deux pôles, et leur longueur est aussi d'environ 40 000 km. Un des méridiens est représenté en bleu.
2) Comment se repérer sur la sphère Terre :
Pour se repérer sur la Terre, on utilise deux grands cercles comme références :
• Le premier l’équateur qui permet de mesurer la latitude d’un point.
• le deuxième le méridien de Greenwich qui permet de mesurer la longitude d’un point ( c’est le méridien qui sert, par exemple, de référence pour le système de géolocalisation GPS, pour la navigation aérienne par l'organisation de l'aviation civile internationale depuis 1989…. ).
Exemple :
On souhaite repérer avec précision la position du point M sur la Terre : 1) On trace le méridien de Greenwich qui coupe l’équateur en un point
P.
2) On trace le méridien passant par le point M : il coupe l’équateur en N.
3) On place le point R sur l’axe des pôles de façon à ce que le triangle OMR soit rectangle en R.
La position du point M est alors définie par :
• sa latitude : elle correspond à la mesure de l’angle MÔN : c’est une coordonnée géographique représentée par une valeur angulaire, qui représente la position d'un point sur Terre au nord ou au sud de l'équateur.
Cet angle est compris entre 0° ( le point est sur l’ équateur ) et 90° ( le point est sur un des deux pôles ).
Exemples :
Si cet angle mesure 30° et que le point se trouve dans l’hémisphère Nord, on dira que la latitude est 30°Nord ou 30°N.
Si cet angle mesure 50° et que le point se trouve dans l’hémisphère Sud, on dira que la latitude est 50°Sud ou 50°S.
• Sa longitude : elle correspond à la mesure de l’angle PÔN : c’est une coordonnée géographique représentée par une valeur angulaire, qui représente la position d’un point sur la terre à droite ou à gauche du méridien de Greenwich.
Cet angle est compris entre 0° ( le point est sur le méridien de Greenwich ) et 180° ( le point est diamétralement opposé au point précédent ).
Exemples :
Si cet angle mesure 100° et que le point se trouve à droite du méridien de Greenwich, on dira que la longitude est 100°Est ou 100°E.
Si cet angle mesure 120° et que le point se trouve à gauche du méridien de Greenwich, on dira que la longitude est 120°Ouest ou 120°O.
Sur la figure précédente, le point M a pour latitude 58°Nord et 80°Est.
Méthode pour calculer la latitude d’un point M sur la Terre :
On travaille dans le triangle OMR rectangle en R : de la figure précédente, on peut extraire le cercle suivant :
Avec :
• OM représente la longueur du rayon terrestre, soit 6 400 km.
• RM représente le rayon du cercle correspondant au parallèle passant par M.
• OR représente la distance entre les centres des cercles du parallèle et de l’équateur.
Les données fournies vous permettront de déterminer l’angle RÔM puis ensuite l’angle MÔN représentant la latitude du point M.
Exemple :
Si on suppose que RM = 2000 km, on a la configuration suivante :
Dans le triangle OMR, rectangle en R, on a :
Sin(RÔM) = c’est-à-dire Sin(RÔM) = .
La calculatrice nous donne RÔM = 18 °, valeur arrondie au degré.
Enfin, les angles RÔM et MÔN étant complémentaires, on peut écrire que :
MÔN + RÔM = 90 soit MÔN = 90 – RÔM = 90 – 18 = 72°
Conclusion :
La latitude du point M est 72° Nord
