La sphère et la boule

(1)

O' M

O Rayon de

la sphère Rayon de la section

Définitions

• La sphère de centre O et de rayon r ( r  0) est l'ensemble des points M de l'espace, tels que OM = r .

• La boule de centre O et de rayon r ( r  0) est l'ensemble des points M de l'espace, tels que OM  r .

Exemple :

• [AB] est un diamètre de la sphère (segment qui joint deux points de la sphère, passant par le centre de la sphère).

• Le cercle vert est un grand cercle de la sphère (cercle de centre O et de rayon r ).

Remarque :

On peut dire que la sphère est l'enveloppe de la boule (comme la peau d'une orange) tandis que la boule est l'intérieur.

Sections

La section d'une sphère de centre O par un plan est un cercle.

Exemple :

Ci-contre, la section de la sphère par le plan rose est un cercle de centre O' et de rayon O'M.

Remarques :

• Lorsque le plan ne passe pas par le centre de la sphère, la droite (OO') est perpendiculaire au plan de section.

• La section d'une boule par un plan est un disque.

• Le rayon de la section est toujours plus petit ou égal au rayon de la sphère.

• Dans le cas où le plan de section passe par le centre de la sphère, le rayon de la section est égal au rayon de la sphère. La section est alors un grand cercle.

Aire d'une sphère, volume d'une boule

Pour calculer l'aire d'une sphère, on utilise la formule : = 4 × π × r

²

où r désigne le rayon.

Espace • G4

A

9 Définitions

La sphère et la boule

1

Aires et volumes

2 A

Propriété

A O B

M r

B

21 Propriété 1

101

(2)

Pour calculer le volume d'une boule, on utilise la formule : = 4

3 × π × r

³

où r désigne le rayon.

Exemple :

Calcule l'aire d'une sphère et le volume d'une boule, toutes deux de rayon 5 cm.

Donne les valeurs exactes, puis des valeurs approchées au dixième près.

= 4 × π × rayon

²

= 4 × π × 5

²

= 100 π cm

²

valeur exacte ≈ 314,2 cm

²

valeur approchée

= 4

3 × π × rayon

³

= 4

3 × π × 5

³

= 500

3 π cm

³

valeur exacte ≈ 523,6 cm

³

valeur approchée

Agrandissements et réductions

Lors d'un agrandissement ou d'une réduction de rapport k ,

• les longueurs sont multipliées par k ,

• les aires sont multipliées par k

²

,

• les volumes sont multipliés par k

³

. Exemple :

Dans une réduction de rapport k = 0,5 :

• les longueurs sont multipliées par 0,5 ;

• les aires sont multipliées par 0,5² = 0,25 ;

• les volumes sont multipliés par 0,5

³

= 0,125.

Tout point M de l'espace peut être repéré grâce à ses trois coordonnées dans un repère.

• La première coordonnée, lue sur l'axe (O x ), est appelée l'abscisse.

• La deuxième coordonnée, lue sur l'axe (O y ), est appelée l'ordonnée.

• La troisième coordonnée, lue sur l'axe (O z ), est appelée la cote ou l'altitude.

Exemple :

On construit le pavé droit de sommets O et M, dont les arêtes sont parallèles aux axes du repère.

La sphère et la boule

O' M

O Rayon de

la sphère Rayon de la section

Définitions

• La sphère de centre O et de rayon r ( r  0) est l'ensemble des points M de l'espace, tels que OM = r .

• La boule de centre O et de rayon r ( r  0) est l'ensemble des points M de l'espace, tels que OM  r .

Exemple :

• [AB] est un diamètre de la sphère (segment qui joint deux points de la sphère, passant par le centre de la sphère).

• Le cercle vert est un grand cercle de la sphère (cercle de centre O et de rayon r ).

Remarque :

On peut dire que la sphère est l'enveloppe de la boule (comme la peau d'une orange) tandis que la boule est l'intérieur.

Sections

La section d'une sphère de centre O par un plan est un cercle.

Exemple :

Ci-contre, la section de la sphère par le plan rose est un cercle de centre O' et de rayon O'M.

Remarques :

• Lorsque le plan ne passe pas par le centre de la sphère, la droite (OO') est perpendiculaire au plan de section.

• La section d'une boule par un plan est un disque.

• Le rayon de la section est toujours plus petit ou égal au rayon de la sphère.

• Dans le cas où le plan de section passe par le centre de la sphère, le rayon de la section est égal au rayon de la sphère. La section est alors un grand cercle.

Aire d'une sphère, volume d'une boule

Pour calculer l'aire d'une sphère, on utilise la formule : = 4 × π × r

où r désigne le rayon.

Espace • G4

A

9

Définitions

La sphère et la boule

1

Aires et volumes

2

A

Propriété

A O B

M r

B

21

Propriété 1

101

Pour calculer le volume d'une boule, on utilise la formule : = 4

3 × π × r

où r désigne le rayon.

Exemple :

Calcule l'aire d'une sphère et le volume d'une boule, toutes deux de rayon 5 cm.

Donne les valeurs exactes, puis des valeurs approchées au dixième près.

= 4 × π × rayon

= 4 × π × 5

= 100 π cm

valeur exacte ≈ 314,2 cm

valeur approchée

= 4

3 × π × rayon

= 4

3 × π × 5

= 500

3 π cm

valeur exacte ≈ 523,6 cm

valeur approchée

Agrandissements et réductions

Lors d'un agrandissement ou d'une réduction de rapport k ,

• les longueurs sont multipliées par k ,

• les aires sont multipliées par k

,

• les volumes sont multipliés par k

. Exemple :

Dans une réduction de rapport k = 0,5 :

• les longueurs sont multipliées par 0,5 ;

• les aires sont multipliées par 0,5² = 0,25 ;

• les volumes sont multipliés par 0,5

= 0,125.

Tout point M de l'espace peut être repéré grâce à ses trois coordonnées dans un repère.

• La première coordonnée, lue sur l'axe (O x ), est appelée l'abscisse.

• La deuxième coordonnée, lue sur l'axe (O y ), est appelée l'ordonnée.

• La troisième coordonnée, lue sur l'axe (O z ), est appelée la cote ou l'altitude.

Exemple :

On construit le pavé droit de sommets O et M, dont les arêtes sont parallèles aux axes du repère.

Le point M a pour coordonnées (2 ; 5 ; 3).

G4 • Espace

B