Correction du devoir à la maison (chapitre espace-volume-boule-sphère) Soit un cube de 10cm d’arête.
Première question : Quelle est le volume de la plus grande boule que l'on peut mettre à l'intérieur du cube ? Calculer le pourcentage du volume de la boule par rapport au volume du cube.
Il faut essayer de se représenter la situation. La boule est à l'intérieur du cube, et comme elle est la plus grosse possible, elle va toucher le cube sur 6 faces.
On va calculer le volume de la boule, le volume du cube, et ensuite mettre la proportion en pourcentage.
Le diamètre de la boule correspond à la longueur d'une arrête du cube, soit 10cm. Son rayon est donc égale à la moitié, soit 5cm.
On peut donc calculer le volume de la boule :
On peut aussi calculer le volume du cube :
Pour déterminer le pourcentage, je peux faire un produit en croix 524×100÷1000 soit environ 52 %
Deuxième question : Quelle est le volume de la plus petite boule qui peut contenir le cube ? Calculer le pourcentage du volume de la boule par rapport à celui du cube.
Ici, c'est la question inverse, c'est à dire que le cube est à l'intérieur, et la boule est autour du cube. La boule va donc toucher le cube sur ses 8 sommets. Encore une fois, on va calculer le volume de la boule, le volume du cube, et ensuite mettre la proportion en pourcentage
Pour le volume calculer le volume de la boule, il faut déterminer son rayon : La sphère obtenue passera par les sommets du cube. Il faut raisonner dans l'espace et non "à plat". C'est à dire que son diamètre est donc [AG] qui s'appelle la grande diagonale du cube. (les diagonales des faces du cube s'appelle les petites diagonales)
Pour trouver la longueur de cette diagonale, je vais utiliser Pythagore dans les triangles rectangles du cube.
Je sais que ABC est un triangle rectangle, donc d'après le théorème de Pythagore : et donc
Je sais que ACG est un triangle rectangle, donc d'après le théorème de Pythagore : car
et donc On peut ensuite calculer le volume de la boule :
Le volume du cube n'a pas changer, et, lorsqu'on calcule le pourcentage on fait 2721×100÷1000 soit environ 272 %
Troisième question (Objectif seconde) : Les résultats trouvés dans les deux questions précédentes dépendent-ils de la taille initial du cube (arête de 10cm) ? Oui, non ? Pourquoi ? Justifie…
On pouvait avoir l'idée de refaire les calculs précédents avec une autre valeur pour la longueur de l’arête du cube.
Par exemple pour 8cm.
Dans ce cas, il faut recalculer les volumes, et on trouve à nouveau environ 52 % pour la première question et 272 % pour la deuxième. En effet, les volumes varient mais le rapport de volume de la boule par rapport au cube ne varient pas.
Mieux, on pouvait faire les calculs précédents avec une longueur inconnue, et montrer que ces pourcentage ne dépendent pas de cette longueur. .
Soit la longueur de l'arrête du cube.
Pour la première question, le volume du cube est donc . La boule à un rayon de , et donc le volume devient , soit . Lorsqu'on fait le produit en croix pour obtenir le pourcentage, on obtient
. Et donc à nouveau 52 % !
Pour la deuxième question, il faut calculer de la même manière les longueurs des diagonales, pour pouvoir ensuite trouver la longueur du rayon de la boule.
Pour AC, on trouve et pour AG, on trouve . On calcule le volume de la boule avec un rayon de , soit . En calculant le pourcentage, on retombe sur environ 272 %.
