Extensions de fonctions d'un voisinage de la sphère à la boule

(1)

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Extensions de fonctions d’un voisinage de la sphère à la

boule

Valentin Seigneur

To cite this version:

Valentin Seigneur. Extensions de fonctions d’un voisinage de la sphère à la boule. Comptes Rendus.

Mathématique, Centre Mersenne (2020-..) ; Elsevier Masson (2002-2019), 2018, 356 (7), pp.712-716.

�10.1016/j.crma.2018.05.016�. �hal-02343651�

(2)

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C. R.

Acad.

Sci.

Paris,

Ser. I

www.sciencedirect.com

Algèbre homologique/Topologie différentielle

Extensions

de

fonctions

d’un

voisinage

de

la

sphère

à

la

boule

Extending

functions

from

a

neighborhood

of

the

sphere

to

the

ball

Valentin Seigneur

Unitédemathématiquespuresetappliquées,ÉcolenormalesupérieuredeLyon,46,alléed’Italie,69364Lyoncedex07,France

i

n

f

o

a

r

t

i

c

l

e

r

é

s

u

m

é

Historiquedel’article :

Reçule27février2018

Acceptéaprèsrévisionle25mai2018 DisponiblesurInternetle31mai2018 Présentéparlecomitéderédaction

Danscette note,nousnousintéressons auproblèmed’extensiond’ungerme defonction définilelongdelasphèrestandarddontlarestriction f àlasphèreest deMorseàune fonctionF sanspointscritiquesdéfiniesurlaboulebordée parlasphère.Nousdonnons uneconditionnécessairesurlescomplexesdeMorseàcoefficientsdansZassociésà f .

a

b

s

t

r

a

c

t

Inthis note,we are interested in the problem of extending a germdeﬁned along the standard sphere and whose restriction tothe sphere isMorse to afunction F deﬁned

ontheballboundedbythesphere,withoutcriticalpoint.Wegiveanalgebraicnecessary conditiondealingwiththeMorsecomplexesof f withZcoeﬃcients.

1. Introduction

Soit

˜

f ungermedefonctionlisseetsanspointscritiquesauvoisinagedelasphèreunité

S

n_dans

_R

n+1_._Peut-on_l’étendre

en une fonction F sans points critiques déﬁnie sur toute la boule unité

D

n+1? Par une petite déformation, on pourra supposerquelarestriction f de

˜

f àlasphèreestunefonctiondeMorse.

Nousidentiﬁeronssouventlegerme

˜

f àun représentantdecegerme

˜

f

: S

n

× [

0

,

ε

)

→ R

,où

ε

estunréelstrictement positif aussi petit que nécessaire,et oùle voisinagecollier

S

n

_{× [}

₀

_,

_ε

₎

_de _la_sphère _est_plongé _dans_la _boule

_D

n+1 _de _la

manière suivante :

(

x

,

t

)

→ (

1

−

t

)

x.Nousnoteronsaussi systématiquementpar f

: S

n

_{→ R}

_la_restriction_de

˜

_{f à}_la_sphère

S

n

_{× {}

₀

_}

_.

CettequestionaétéabordéepourlapremièrefoisparBlanketLaudenbach[2],quidonnentuneconditionnécessaireet suﬃsantepourlecasn

=

1.Curleydonneuneréponsepourn

=

2,voir[4].Lesdeuxconditionssontdenaturecombinatoire etutilisentdesgraphesétiquetés déﬁnisnaturellementparlafonctionetlessignes desdérivéesnormalesàlasphèreaux pointscritiquesde f .

Danscettenote,nousannonçonsuneconditionnécessaired’extensionsanspointcritique.

Adressee-mail :valentin.seigneur@ens-lyon.fr.

https://doi.org/10.1016/j.crma.2018.05.016

(3)

Elle s’appuie sur le travail de Barannikov [1], qui donne une condition nécessaire sur le complexe de Morse de f à

coeﬃcients dansun corps,et un diagramme introduit dans l’article précité. Le résultat de Barannikov est également de nature combinatoireetutilisela théoriede Cerf. Nousréféronsaussi à Laudenbach[6] pouruneexpositiondu travailde Barannikov.Notreconditionestalgébriqueets’exprimeentermesdescomplexesdeMorsede f àcoeﬃcientsentiers.Elle utiliselathéoriedeMorseetlathéoriedeCerf,voirLaudenbach[5].

Cesrésultats,assortisdeleursdémonstrations,sontdisponiblesenanglaisdans[9].

2. Théorèmeprincipal

NousutilisonslesnotationsdeCurleydanscequisuit.

Sia estunpointcritiquede f ,nousavonsdeuxpossibilités,puisque

˜

f n’apasdepointcritique :

• ∂

t

˜

f

(

a

,

0

)

>

0 ;danscecasnousdironsquelepointa estd’étiquette

−

;

• ∂

t

˜

f

(

a

,

0

)

<

0 ;danscecasnousdironsquelepointa estd’étiquette

+

.

Unecondition immédiated’extension sanspoints critiquesestquelemaximum(resp.minimum)globalde f soit d’é-tiquette

+

(resp.

−

).Sinon,pardéﬁnitiondesétiquettes,touteextensionde

˜

f àlaboule

D

n+1 _aurait_un _extremum_global

à l’intérieur de laboule, ce qui est exclu. Nous supposons donc cette première condition réalisée pour tous les germes considérésparlasuite.

Soit X unchampde pseudo-gradientde typeMorse–Smaleadapté à f .Nouschoisissons,pour toutentierk, un ordre sur lespoints critiquesd’indice k de f telque, pourcet ordre, touslespoints d’étiquette

+

soientantérieurs auxpoints d’étiquette

−

.

Soit

∂k

l’opérateur de bord associé au complexe de Morse déﬁni par X , qui agit sur le

Z

-module

Z

Ck(

f

)

librement engendréparlespointsd’indicek.Ladonnéedecesordressurlespointscritiquespourtoutindicek nouspermetd’écrire

∂k

commeunematrice :

∂

k

=

∂

_++,k

∂

+−,k

∂

_−+,k

∂

−−,k

,

où

∂

12,kenvoie

Z

C

_k2

( ˜

f

)

,lemodulelibreengendréparlespointsd’indicek etd’étiquette

2,vers

Z

C

_k₋1₁

( ˜

f

)

.

Soit k unentier entre 0 et n.Notons

(

aj)1≤j≤pk les points critiques engendrantle sous-module

Z

C

k+

( ˜

f

)

,de rang pk, et

(

bi)1≤i≤qk lespoints critiquesengendrantlesous-module

Z

C

−

k

( ˜

f

)

,de rangqk.Lepointbi estdoncle pk

+

i-èmepoint critiquede f pourl’ordresurlespointscritiques.

Legrouped’isomorphismes Gk

( ˜

f

)

estlesous-groupedeG Lpk+qk

(

Z)

déﬁnidelafaçonsuivante.UnematriceMkappartient

àGk( ˜f

)

sielles’écritsouslaforme Mk

=

Ipk 0 Nk Iqk

,

où Ir est la matrice identité de rang r, et où Nk est une matrice dont le coeﬃcient Nk;(i,j) en place

(

i

,

j

)

est nul si

f

(

aj

)

<

f

(

bi

)

.

Nouspouvonsrassemblertouscesgroupesenun groupeglobal. Notonss

:=

0≤k≤n

pk

+

qk.NousnoteronsG

( ˜

f

)

le pro-duit desgroupes Gk( ˜f

)

.Onpeut réaliser G

( ˜

f

)

commeun groupede matricesparblocs dans G Ls(

Z)

qui s’identiﬁeà un sous-grouped’automorphismesde

Z

C(

f

)

respectantledegré.

Ce groupedoit être interprété commel’ensemble des glissements d’anses permis de points d’étiquette

+

par-dessus les points d’étiquette

−

, qui permettent donc des modiﬁcations du pseudo-gradient adapté à f . Ainsi, un ensemble de glissementsd’anses depoints étiquetés

+

au dessusde points étiquetés

−

correspondàlaconjugaison del’opérateur de bord

∂

parunélémentM deG

( ˜

f

)

.Notonsquecetteactionlaisselamatrice

∂

₊₋

:

0≤k≤n

Z

C

_k+

( ˜

f

)

→

0≤k≤n−1

Z

C

_k−

( ˜

f

)

inchangée.L’interprétation donnéeci-dessusa cependantseslimites,etleséléments de G

( ˜

f

)

sont,engénéral,denature purementalgébrique.Notamment,unglissementd’ansesentredeuxpointscritiquesa etb demêmeindicek est géométri-quementréalisableseulements’ilexisteunelignestrictementdescendantedea versb,etsi1

≤

k

≤

n

−

1.Unglissement d’anseentre deuxextrema n’apasde sens géométriquenon plus.Nousréféronslelecteur à[9] pourlesdétails. Voicile théorèmeprincipal :

Théorème2.1.Soit

˜

f ungermedefonctionsanspointscritiquesdéﬁniauvoisinagedelasphère

S

n_dans_le_disque

_D

n+1_._On_suppose

(4)

Morse–Smaleadaptéàf etnotons

∂

l’opérateurdebordassocié.Silegerme

˜

f s’étendsanspointscritiques,alorsilexisteunélément M deG

( ˜

f

)

,produitd’élémentsMkdeGk( ˜f

)

,telquepourtoutindicek :

Mk−1

∂

kM−_k1

=

∂

_++, _k

∂

_+−,k 0

∂

_−−, _k

,

oùle

Z

-modulegradué

0≤k≤n

Z

C

_k+

( ˜

f

)

munidel’opérateurdebord

∂

₊₊ estuncomplexedechaînedontl’homologieàcoeﬃcientsentiersseréduità0 pourtoutdegré,sauf audegrén,oùelleest

Z

.

Notonsquesi f n’aqu’unseulmaximummax,alorsnousavons

∂(

max

)

=

0 pourn’importequelopérateurdebordissu d’un champ depseudo-gradientMorse–Smaleadapté à f .En effet,untel opérateurde bord

∂

appliquéà max comptele nombre delignes de gradientavecsigne joignantmax à unpoint critiqued’indice n

−

1.Mais lavariétéstabled’un point critique d’indice n

−

1 est une droiteorientée dont les deux extrémités tendent versle maximum, puisqu’il est unique. Danslecomptagedubord

∂(

max

)

,unedesextrémitéscorrespondàunelignedegradientquidonneun

+

1 etladeuxième est une autre ligne de gradient qui donne un

−

1.Ainsi, encomptant les lignes de gradients avec signe,nous obtenons

∂(

max

)

=

1

+ (−

1

)

=

0.Danslecasoù f n’aqu’un maximumlocal,nouspouvonsdoncreformulerladeuxièmecondition duthéorèmepar« le

Z

-modulegradué

0≤k≤n−1

Z

C

_k+

( ˜

f

)

munidel’opérateurdebord

∂

₊₊ estuncomplexedechaîneacyclique ».

Lapreuveduthéorème2.1utiliselathéoriedeMorseetlathéoriedeCerf.Ellepeutêtredécritecommesuit, lesdeux premierspointssuiventBarannikov[1].

•

Si F

: D

n+1

_{→ R}

_étend_le_germe _{f sans}

˜

_points _critiques,_alors_nous_pouvons_considérer_un _point _{z dans}_{l’intérieur}_de

D

n+1 _et_un_voisinage_fermé _{B de}_ce_point_{difféomorphe}_à_une_boule_fermée._La_fonction _{F restreinte}_au_bord_de _{B n’a}

qu’unmaximumetunminimumpourtoutpointcritique,etladérivéede F enlemaximumdansladirectionintérieure à B est négative, tandisque celleenle minimumestpositive. Ainsi, larestrictionde F àun voisinagecollier de

∂

B

dans B déﬁnitungermedefonctionquia,pourtoutpointcritique,unmaximumétiqueté

+

etunminimumétiqueté

−

.Cegermeseradénotéh,

˜

etnousparleronsalorsdegermehauteur,carsespropriétéssontidentiquesaugermedéﬁni parlaprojectionsurunecoordonnéedel’espaceeuclidien prk

: (

x1

,

...,

xn+1

)

→

xk.

•

La variété

D

n+1

_\

_{B est} _{difféomorphe} _à _un _cylindre

_S

n

_{× [}

₀

_,

₁

_]

_et _{F ,} _restreinte _à _ce _cylindre, _déﬁnit _un _chemin _de fonctionsentre f et F_|∂B quis’étendàuncheminentrelesgermes

˜

f eth.

˜

Nouspouvonssupposercechemingénérique enconservantl’hypothèseque F n’apasdepointscritiques.

•

UtilisantlathéoriedeCerfetcelledeMorse,voir[5],nousmontronstoutd’abordlerésultatimportantsuivant.

Lemme2.2.SiX estunchamppseudo-gradientMorse–Smaleadaptéàf vériﬁantlaconditionnécessaireduThéorème2.1,alors n’importequelautrechamppseudo-gradientXquiestMorse–Smaleetadaptéàf vériﬁeraaussilaconditionnécessaire.

Ainsi, cettecondition nedépend enfaitque de

˜

f et pasde X ,comme nousaurions pu lecroire.Pour démontrerce lemme,ilfaututiliserlerésultatsuivant,issude[7,Section1.5].

Proposition2.3.SiX etXsontdeuxpseudo-gradientsMorse–SmaleadaptésàunefonctiondeMorse f ,alorsilexisteunchemin t

→

Xt_de_{pseudo-gradients}_pour_t

_{∈ [}

₀

_,

₁

_]

_tels_que_X0

₌

_{X et}_X1

₌

_X_,_et_tel_que_Xt_soit_More–Smale_pour_tout_t,_sauf_un_nombre

ﬁnid’entreeux,pourlesquelsilyaunglissementd’anse.

•

Pour démontrerle Lemme2.2,il suﬃt de le fairedans lecas où il n’ya qu’un glissementd’anse entre X et X, ce qui sefait par des calculs matriciels, etdépend des étiquettesdes points impliqués dans le glissementd’anse. Pour démontrerlethéorèmeprincipal,ilsuﬃtdetrouverunpseudo-gradient X0 sur

S

n quiestMorse–Smaleetadaptéà f

etunélément M0

_∈

_G

_{( ˜}

_f

₎

_tels_que,_en_notant

_∂

0 _{l’opérateur}_de_bord_{associé :}

· (

M0

∂

0

(

M0

)

−1

)

₋₊

=

0,

·

lemodulegradué

0≤k≤n

(5)

munide l’opérateurdebord

(

M0

∂

0

(

M0

)

−1

)

₊₊ estuncomplexede chaînedontl’homologieestnulleentoutdegré différentden,etdontl’homologieest

Z

endegrén.

Pourtrouveruntelpseudo-gradient,nousmontronsd’abordlelemmesuivant.

Lemme2.4.Unaccidentdetypemortéliminantunepairedepointscritiques

(

a

,

b

)

nepeutseproduiresanspointscritiquespour F quesilesdeuxpointssontdemêmeétiquette.

Lechemininduit par F entre

˜

f etlegermehauteurh fournit

˜

alorsun chemingénériqueavecun nombreﬁni d’acci-dents,telsquelesaccidentsde typemort (ounaissance) netuent(ou fontnaître)que despoints de mêmeétiquette seulement.

•

Nouspouvonsalorsfaireunerécurrencesurlenombred’accidentsenremontantlechemin,puisquetrouverun pseudo-gradientquiremplitlaconditionnécessairepourh est

˜

évident.Finalement,nousdevonsdémontrer :

Lemme2.5.Soitt

→

ft_,_pour_t

_{∈ [}

₀

_,

₁

₊

_ε

₎

_,_un_chemin_entre_deux_fonctions_de_Morse _f0_et_f1_qui_présente_un_unique_accident.

SupposonsaussiquelafonctionF

: (

x

,

t

)

→

ft

(

x

)

n’apasdepointscritiquesetque

f1_,_germe_représenté_par

₍

_x

_,

_t

₎

_{∈ S}

n

_{× [}

₁

_,

₁

₊

ε

)

→

ft

₍

_x

₎

_remplit_les_conditions_du_Théorème_2.1_._Alors

_f0_,_germe_représenté_par

₍

_x

_,

_t

₎

_{∈ S}

n

_{× [}

₀

_,

_ε

₎

_→

_ft

₍

_x

₎

_,_remplit_aussi_les

conditionsduthéorème.

Ladémonstrationde celemmeesttechnique.Ils’agitde trouverun pseudo-gradient X0 Morse–Smaleetadaptéà f0

etunematriceM0

_∈

_G

₍

_f0

₎

_à_partir_d’un_{pseudo-gradient} _X1 _{Morse–Smale}_et_adapté_à _f1 _et_une_matrice _M1

_∈

_G

₍

_f1

₎

_.

Elleseréduitdanslaplupartdescas àdescalculsmatriciels.Lelecteur oulalectricepourratrouverlesdétails dans [9].

3. Autresrésultats

LaconditionduThéorème2.1n’estcependantpassuﬃsante.

Théorème3.1.IlexisteunefonctiondeMorse f etungerme

˜

f vériﬁantlaconditionduthéorème,maisnes’étendantpassanspoints critiques.

LadémonstrationexhibeungermeexplicitedontlafonctiondeMorseasixpointscritiques :unmaximumétiqueté

+

, un minimumétiqueté

−

,un pointd’indicek etétiqueté

−

,deuxpoints d’indicek

+

1 d’étiquettesdifférentesetunpoint d’indicek

+

2 étiqueté

+

.LerésultatreposesurdelathéoriedeMorseàbord,voir[3,Lemme2.20],notammentlefaitque si F1 estunefonctionde Morsesur unevariétéàbordM et sia estunpoint critiquepourlarestriction f1 de F1 à

∂

M

étiqueté

+

,alorslasphèred’attachementdea danslavariétédeniveaude F1 doitêtrehomotopiquementtriviale.

Lethéorèmen’estpassuﬃsant,maisnousavonslerésultat :

Théorème3.2.Soit

˜

f legermed’unefonctiondeMorsef quivériﬁeleshypothèsesduThéorème2.1,alorsilexisteungermef

˜

1d’une

fonctiondeMorse f1telque :

•

G

( ˜

f1

)

=

G

( ˜

f

)

,enparticulierlafonctionf1alemêmenombredepointscritiquesque f ,avecmêmesindicesetmêmesétiquettes ;

•

legermef

˜

1s’étendsanspointscritiques.

La démonstration de ce théorème exhibe un tel f

˜

1 à partir de

˜

f . Nousconstruisons la fonction f1 depuis f par un

chemingénériquede fonctionsdontlesseulsaccidentssontdescroisements(iln’yanimort,ninaissance).Le germe f

˜

1

estalorsdonnéenchoisissantlesétiquettesqui conviennent pourlespoints critiquesde f1,cequi esttoujours possible.

Deplus,utilisant[7,Corollaire2.2],nouspouvonsmêmesupposeravoirunpseudo-gradientMorse–Smaleunique X adapté

à f età f1.Ceciimplique,enparticulier,que f et f1 ontlemêmenombredepointscritiquesayantunindicedonné,etle

mêmeopérateurdebord.

Lesseuleschosesquidifférententre f et f1 sontlesvaleurscritiques.

IlsembleengénéraldiﬃciledevériﬁerenpratiquesilaconditionnécessairedonnéeparleThéorème2.1estsatisfaite. Enrevanche,leproblèmeestplus facilesion serestreintaucas où G

( ˜

f

)

est leplusgros possible,c’est-à-direau casoù lespointsd’indicek etétiquetés

+

sonttousau-dessusdespointsd’indicek etétiquetés

−

,autorisanttouslesglissements d’ansespossiblesdepoints

+

audessusdepoints

−

.

Dans lecas où f n’a qu’unmaximumlocal etqu’unminimum local,etque lesindices desautrespoints critiques ne peuventprendrequedeuxvaleursquisontentre2 etn

−

2,nousavonslethéorèmesuivant.

Théorème3.3.Soitungerme

˜

f aveclespropriétésainsidécrites.Notonsj etj

+

1 lesvaleursprisesparlesindicesdespointscritiques nonextrémaux.Supposonsn

≥

6.SoitX unpseudo-gradientMorse–Smalequiestadaptéàf etsoit

∂

l’opérateurdebordassocié.On noted lep.g.c.d.descoeﬃcientsde

∂

_+−,j+1.Alorslegermes’étendsietseulementsi

(6)

det

(∂

_++,j+1

)

≡ ±

1

[

d

].

Lasuﬃsance delaconditionprovientdufaitqu’iln’yaquedeuxindicesnonextrémauxpossibles,etqueladimension

n estsupérieureà6.Leshypothèsesdedimensionn

≥

6 et2

≤

k

≤

n

−

2 nouspermettenteneffetd’utiliser[8,Théorème 6.4] de cancellationdepoints critiques.Ilestimplicitedanslethéorèmeque noussupposons quelamatrice

∂

_++,j+1 soit

carrée,c’est-à-direqu’ilyaitautantdepointscritiquesd’indice j

+

1 étiquetés

+

quedepointscritiquesd’indice j étiquetés

+

.La démonstrationde cethéorème estfacile danslesens direct.Dansl’autre sens,elleserésume àdesconsidérations arithmétiquesbasiquesd’unepart,etàuneutilisationdelathéoriedeMorse,d’autrepart.

Remerciements

Je souhaite remercier vivement le rapporteur anonyme pour ses commentaires. Je souhaite aussi remercier François Laudenbachpoursesnombreuxcommentairesetconseils.

Références

[1]S.Barannikov,TheframedMorsecomplexanditsinvariants,Adv.Sov.Math.21(1994)93–115.

[2]S. Blank,F.Laudenbach,Extensionàunevariétédedimension 2d’un germedefonctiondonnéeaubord,C.R.Acad.Sci.Paris,Ser.I270(1970) 1663–1665.

[3]M.Borodzik,A.Nemethi,A.Ranicki,Morsetheoryformanifoldswithboundary,AlgebraicGeom.Topol.16 (2)(2016)971–1023.

[4]C.Curley,Non-singularextensionofMorsefunctions,Topology16(1977)89–97.

[5]F.Laudenbach,HomologiedeMorsedanslaperspectivedel’homologiedeFloer,IMHOTEPJ.Afr.Math.PuresAppl.9 (2)(2010).

[6] F. Laudenbach,OnanarticlebyS.A. Barannikov,conférencedonnéeàuneécoled’hiveràLaLlagone,France,2013,http://www.math.sciences .univ-nantes.fr/~laudenba/barannikov_I-III.pdf.

[7]F.Laudenbach,AproofofReidemeister–Singer’stheorembyCerf’smethods,Ann.Fac.Sci.ToulouseMath.(6)XXIII (1)(2014)197–221.

[8]J.Milnor,Lecturesontheh-CobordismTheorem,PrincetonUniversityPress,1965.