Poids de la sphère de liège : Volume de la sphère :

TD Trainée de corps sphériques –ex sujet d’examen L3S5 - 2010-2011

LICENCE LPAI L3S5 2010-2011 Mécanique des Fluides

TD Trainée 2

Allée de von Karman derrière un

cylindre-Image équipe ITD-IMFS Dany Huilier – 4 novembre 2010

Exercice complémentaire

Traînée d’une sphère de liège dans une rivière Source : Munson et al. Page 615

Une sphère de liège de 2 pouces (inches) de diamètre est attachée au fond d’une rivière par un câble fin. Sachant que le coefficient de traînée de la sphère est de 0.5 et que l’on néglige la masse et la traînée du câble, déterminez la vitesse d’écoulement de la rivière.

Le poids spécifique (ρg) du liège est de 13 lb/ft³ (Rappels : 1 lb = 4.448 N, 1 foot = 0.3048 m, 1 inch = 2.54 cm)

On écrira l’équilibre des forces horizontales et verticales (poids, poussée d’Archimède, force de trâinée et tension du câble)

Poids de la sphère de liège : Volume de la sphère :

3 6 3

3

( 0 . 0254 ) 68 . 642 x 10 m

3 R 4 3

Vol = 4 π = π =

Masse spécifique :

3 3

3

3

2042 N / m

m ) 3048 . 0 (

N 448 . 4 x ft 13

/ lb 13

g = = =

ρ

Poids de la sphère : N 140 . 0 gVol Poids = ρ =

Poussée d’Archimède vers le haut : N

673 . 0 Vol . g .

P

= ρ

=

La composante verticale de la tension du fil compense la résultante force de pesanteur + force d’Archimède :

Tension verticale = Tension x sin(60°) = Tension x 3 / 2

1

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La tension sera donnée par :

N 615 . 0 3 / 2 x ) 140 . 0 673 . 0 ( 3 / 2 x ) Poids P

(

T =

− = − =

La composante horizontale de la traction compense la traînée :

D 2 2 f

H

U .( R ) C

2 N 1 308 . 0 ) 60 cos(

. T

T = ° = = ρ π

Si on met le coefficient de traînée à Cd à 0.5 :

s / m 78 . C 0 ).

R (

T . U 2

D 2 f

H

=

π

= ρ , ce qui équivaut à un nombre de Reynolds de :

39624 10

0508 . 0 78 .

Re = 0 x

=

, on est bien sur le palier à Cd ~ constant

_____________________________________________________

Exercice complémentaire

Exercice : Chute d’un grelon

La grêle est générée par des allers-retours verticaux répétés de particules de glace grossissant dans des nuages orageux. Quand les grelons ont atteint une taille suffisante, la force aérodynamique occasionnellement ascendante n’est plus en mesure de contrecarrer le poids des grelons, et ceux-ci quittent le nuage pour tomber au sol. Estimez la vitesse de chute limite U des grelons en supposant que leur taille (diamètre D) est de 1.5 inches (1 inch = 2.54 cm), soit la taille d’une balle de golf, ce qui peut arriver.

Ecrivez d’abord l’équation d’équilibre de chute limite.

On négligera ensuite la poussée d’Archimède (à justifier). En supposant que le coefficient de traînée est de l’ordre de 0.5, calculez la vitesse de chute U, et le nombre de Reynolds pour justifier la valeur 0.5 choisie. La masse volumique de la glace est de 948.3 kg/m³ et celle de l’air est de 1.2266 kg/m³ La viscosité cinématique de l’air est sensée être dans les notes de cours.

SOLUTION

Dans des conditions d’équilibre

2

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2

2

1 C AU

Vg

Vg

glace

ρ ρ

ρ = +

6 D V ₌ π

et ²

4 D A ₌ π

Soit encore en négligeant la poussée d’Archimède,

m s

C U gD

D air glace

/ 75 . 3 27

4 ⎟⎟

=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛ ρ ρ

Le nombre de Reynolds est de :

Re = ( 27 . 75 x 0 . 0381 ) /( 15 x 10

) = 70485

Evolution du coefficient de traînée d’une sphère ou d’un cylindre à surface lisse par unité de longueur en fonction du nombre de Reynolds (échelles logarithmiques) (Munson, Young &

Okiishi, page 582, 4th edition)

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