Problème proposé par Michel Lafond
Une balle de golf a des trous qui ont exactement 5 ou 6 voisins. Dénombrer le nombre de trous qui ont exactement 5 voisins.
Chaque trou peut être assimilé à un hexagone ou un pentagone selon son nombre de voisins, et la balle à un polyèdre ayant ces polygones comme faces. Si p est le nombre de pentagones et h celui d’hexagones, le nombre de faces est F=p+h. Soient A et S le nombre d’arêtes et de sommets.
Chaque arête appartient à deux polygones, et chaque sommet à trois. Donc 3S=2A=5p+6h
La relation d’Euler entraine que 6F=6A-6S+12=3S+12 donc 6(p+h)=5p+6h+12 et p=12.
Il y a donc 12 trous ayant cinq voisins.