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D364 - La balle de golf

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Academic year: 2022

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Problème proposé par Michel Lafond

Une balle de golf a des trous qui ont exactement 5 ou 6 voisins. Dénombrer le nombre de trous qui ont exactement 5 voisins.

Chaque trou peut être assimilé à un hexagone ou un pentagone selon son nombre de voisins, et la balle à un polyèdre ayant ces polygones comme faces. Si p est le nombre de pentagones et h celui d’hexagones, le nombre de faces est F=p+h. Soient A et S le nombre d’arêtes et de sommets.

Chaque arête appartient à deux polygones, et chaque sommet à trois. Donc 3S=2A=5p+6h

La relation d’Euler entraine que 6F=6A-6S+12=3S+12 donc 6(p+h)=5p+6h+12 et p=12.

Il y a donc 12 trous ayant cinq voisins.

D364 - La balle de golf

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