Sur le nombre des diagonales d'un polyèdre

(1)

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

P ROUHET

Sur le nombre des diagonales d’un polyèdre

Nouvelles annales de mathématiques 2^e série, tome 2 (1863), p. 77-79

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(2)

SUR LE NOMBRE DES DIAGONALES D'UN POLYÈDRE ( * ) .

Je désignerai par ƒ le nombre des faces, par 5 le nom- bre des sommets et par a le nombre des arêtes du po- lyèdre. On sait qu'il existe'entre ces trois quantités la relation

(1) / + * = «-H2

découverte par Euler.

(*) Ce problème a été traité par M. Henri Binder dans les Archives de Grunert, t. VIII, p. 221.

(3)

i 78 )

Soient^en outre, fz le nombre des faces triangulaires;

j \ le nombre des faces quadf angulaires, etc., et d le nombre des diagonales.

Le nombre des distances mutuelles des s sommets est

\ ~ f . Pour avoir le nombre des diagonales, U faut retrancher les distances mutuelles des sommets des triangles, 3 ^ ; relies des sommets des quadrilatères, 6 ƒ4, etc , ce qui donne

Mais chaque arête appartenant à deux faces a été retran- chée deux fois; il faut donc ajoutera, et Ton aura

C'est la formule cherchée.

Exemples.

Tétraèdre :

s = ^y a = 6, /3==4> d=o.

Hexaèdre h faces qugdrangulaires :

5 = 8 , rt=I2, f3=O, /4= 6 , /5rr:o.. , d = 4 .

Dodécaèdre à faces pentagonales :

tf = 2 0 , a = 3 o , /3 = /4= : /6= . . . = O , fh— 1 2 , il— !OO.

Remarque, — O n peut écriie la formule (2) ainsi

2

Mais, d'après la formule d'EuIer-, on a

(4)

( 7 9 ) D'ailleurs on a

( 4 ) 2 0 = ^ 3 / 3 - 4 - 4 / 4 - 4 - 5 / 5 4 - . . . 4 - / * ƒ „ • + - . . . ,

car le dernier membre donne le total des arêtes de tontes les faces, et chaque arête est comptée deux fois. Donc on pourra mettre l'équation (1) sous la forme

(5) d=-+~—'-f-2-/— 2/4—5/6-9/6—. -. K——ƒ„....

Corollaire L — Le nombre des diagonales d'un p o - lyèdre est toujours inférieur au nombre des diagonales du polygone qui a le même nombre de sommets, ce qui est d'ailleurs évident.

Corollaire II. — Si le polyèdre n'a que des faces triangulaires, on a

(6) d='lLZ*l + *-f.

D'ailleurs l'équation ( 4 ) d o n n e

( 7 ) 2ii = 3/.

On peut éliminer entre les équations ( i ) , (6) et ( 7 ) deux des trois quantités tf, s, J\ et en faisant le calcul on trouve pour /7, l'une des trois formes

(s - 3) ( j - 4) _ ( / - a ) ( / _ 4) _ (fl — 3) (a - 6)

c ~ 2 — 8 ~ 18

P.