A726. La balance à trois plateaux (1er épisode) *****
On a neuf boules d'apparences identiques mais de poids tous différents et on souhaite les classer par ordre décroissant de poids.
On dispose d'une balance très particulière conçue à l'époque d'Al Khazini
(première moitié du XIIième siècle) qui comporte trois plateaux avec trois bras faisant entre eux un angle de 120°.
Au cours d'une pesée on place une boule sur chacun des plateaux : le plateau le plus bas porte la boule la plus lourde, le plateau le plus haut porte la boule la plus légère et l'on repère la boule au poids médian dans le plateau qui occupe une position intermédiaire.
Déterminer le nombre minimum de pesées qui permettent de classer les neuf boules.
Solution proposée par Jean Nicot
On notera {XY} ou {XYZ} un ensemble de 2 ou 3 boules dont des pesées antérieures ont déterminé l’ordre décroissant des poids, non représenté par l’ordre affiché entre les accolades.
On fait 3 pesées utilisant une fois chacune des 9 boules, puis une quatrième pesée avec les 3 boules de poids médian, notées BEH en poids décroissant B>E>H. On note A et C les boules déjà pesées avec B, avec A>B>C, puis D et F les boules déjà pesées avec E, avec D>E>F, et ensuite G et J les boules déjà pesées avec H, avec G>H>J.
A>B>C D>E>F G>H>J
B>E>H
On effectue une 5è pesée avec les boules lourdes A D G dont la plus lourde est la plus lourde de toutes.
On effectue une 6è pesée avec les boules légères C F J dont la plus légère est la plus légère de toutes.
1er cas : A et C sont déjà classées, {DG} et {FJ} rangées par poids D>E>F
G>H>J B>E>H
Une 7è pesée avec {D G} B fournira la plus lourde, qui est aussi la plus lourde des 7 boules restantes Une 8è pesée avec { F J} H fournira la plus légère, qui est aussi la plus légère des 7 boules restantes Il reste 5 boules : {DBG}en excluant max{DBG}, E et {FJH} en excluant min {FJH}
Une 9è pesée avec min{DBG}, E et max{FJH} : Si E est de poids médian, c’est terminé
Sinon une 10è pesée entre E et {DBG} en excluant min{DBG}, si E est lourd ou bien
entre E et {FJH} en excluant max{FJH}, si E est léger pour terminer 2è cas : A et F sont déjà classées, {DG} et {CJ} rangées par poids
B>C D>E G>H>J
B>E>H
Une 7è pesée avec {D G} B fournira la plus lourde, qui est aussi la plus lourde des 7 boules restantes Une 8è pesée avec { C J} E fournira la plus légère, qui est aussi la plus légère des 7 boules restantes Il reste 5 boules : {DBG}en excluant max DBG}, H et {CJE} en excluant min {CJE}
Une 9è pesée avec min{DBG}, H et max{CJE} : Si H est de poids médian, c’est terminé
Sinon une 10è pesée entre H et {DBG} en excluant min{DBG}, si H est lourd ou bien
entre H et {CJE} en excluant max{CJE}, si H est léger pour terminer
3è cas : A et J sont déjà classées, {DG} et {CF} rangées par poids B>C
D>E>F G>H
B>E>H
Une 7è pesée avec {D G} B fournira la plus lourde, qui est aussi la plus lourde des 7 boules restantes Une 8è pesée avec { C F} H fournira la plus légère, qui est aussi la plus légère des 7 boules restantes Il reste 5 boules : {DBG}en excluant max DBG}, E et {CFH} en excluant min {CJH}
Une 9è pesée avec min{DBG}, E et max{CFH}
Si E est de poids médian, c’est terminé
Sinon une 10è pesée entre E et {DBG} en excluant min{DBG}, si E est lourd ou bien
entre E et {CFH} en excluant max{CFH}, si E est léger pour terminer 4è cas : D et C sont déjà classées, {AG} et {FJ} rangées par poids
A>B E>F G>H>J B>E>H
Une 7è pesée avec {A G} E fournira la plus lourde, qui est aussi la plus lourde des 7 boules restantes Une 8è pesée avec { F J} B fournira la plus légère, qui est aussi la plus légère des 7 boules restantes Il reste 5 boules : {AEG}en excluant max{AEG}, H et {FJB} en excluant min {FJB}
Une 9è pesée avec min{AEG}, H et max{FJB}
Si H est de poids médian, c’est terminé
Sinon une 10è pesée entre H et {AEG} en excluant min{AEG}, si H est lourd ou bien
entre H et {FJB} en excluant max{FJB}, si H est léger pour terminer 5è cas : D et F sont déjà classées, {AG} et {CJ} rangées par poids
A>B>C G>H>J B>E>H
Une 7è pesée avec {A G} E fournira la plus lourde =max{AG}. C’ est aussi la plus lourde des 7 boules restantes
Une 8è pesée avec {C J} B fournira la plus légère= min{CJ}. C’ est aussi la plus légère des 7 boules restantes Il reste 5 boules : E, min{AG}, max{CJ}, H et B
Une 9è pesée avec min{AEG}, H et max{CJB}
Si H est de poids médian, c’est terminé
Sinon une 10è pesée entre H et {AEG} en excluant min{AEG}, si H est lourd ou bien
entre H et {CJB} en excluant max{CJB}, si H est léger pour terminer
6è cas : D et J sont déjà classées, {AG} et {CF} rangées par poids A>B>C
E>F G>H B>E>H
Une 7è pesée avec {A G} E fournira la plus lourde =max{AG}. C’ est aussi la plus lourde des 7 boules restantes
Une 8è pesée avec {C F} H fournira la plus légère. C’ est aussi la plus légère des 7 boules restantes Il reste 5 boules : E, min{AG}, B, {CFH) en excluant min{CFH}
Une 9è pesée avec min{AEG}, B et max{CFH}
Si B est de poids médian, c’est terminé
Sinon une 10è pesée entre B et {AEG} en excluant min{AEG}, si B est lourd ou bien
entre B et {CFH} en excluant max{CFH}, si B est léger pour terminer
7è cas : G et C sont déjà classées, {AD} et {FJ} rangées par poids A>B
D>E>F H>J B>E>H
Une 7è pesée avec {A D} H fournira la plus lourde =max{AD}. C’ est aussi la plus lourde des 7 boules restantes
Une 8è pesée avec {F J} B fournira la plus légère. C’ est aussi la plus légère des 7 boules restantes Il reste 5 boules : E, min{AD}, max{FJ}, H et B
Une 9è pesée avec min{ADH}, E et max{FJB}
Si E est de poids médian, c’est terminé
Sinon une 10è pesée entre E et {ADH} en excluant min{ADH}, si E est lourd ou bien
entre E et {FJB} en excluant max{FJB}, si E est léger pour terminer
8è cas : G et F sont déjà classées, {AD} et {CJ} rangées par poids A>B>C
D>E H>J B>E>H
Une 7è pesée avec {A D} H fournira la plus lourde =max{AD}. C’ est aussi la plus lourde des 7 boules restantes
Une 8è pesée avec {C J} E fournira la plus légère= min{CJ}. C’ est aussi la plus légère des 7 boules restantes Il reste 5 boules : E, min{AD}, max{CJ}, H et B
Une 9è pesée avec min{ADH}, B et max{CJE}
Si B est de poids médian, c’est terminé
Sinon une 10è pesée entre B et {ADH} en excluant min{ADH}, si B est lourd ou bien
entre B et {CJE} en excluant max{CJE}, si B est léger pour terminer
9è cas : G et J sont déjà classées, {AD} et {CF} rangées par poids A>B>C
D>E>F B>E>H
Une 7è pesée avec {A D} E fournira la plus lourde =max{AD}. C’ est aussi la plus lourde des 7 boules restantes
Une 8è pesée avec {C F} H fournira la plus légère. C’ est aussi la plus légère des 7 boules restantes Il reste 5 boules : E, min{AD}, max{CF}, H et B
Une 9è pesée avec min{ADE}, B et max{CFH}
Si B est de poids médian, c’est terminé
Sinon une 10è pesée entre B et {ADE} en excluant min{ADE}, si B est lourd ou bien
entre B et {CFH} en excluant max{CFH}, si B est léger pour terminer
Il faut au plus 10 pesées pour classer les neuf boules.
