D232 : Zig et Puce font des zigzags à Roland-Garros !

D232 : Zig et Puce font des zigzags à Roland-Garros

Sur la terre battue du court central de Roland Garros, les ramasseurs de balles Zig et Puce tracent trois lignes droites X, Y et Z concourantes en O (voir figure ci-après). Elles déterminent deux angles aigus adjacents a et b qui sʼexpriment en nombres entiers de degrés avec a < b ! 45°. A partir dʼun point de départ D situé sur la droite Y à moins dʼun mètre de O, chacun réalise un trajet en zigzag avec des pas dʼun mètre de longueur toutes les cinq secondes. Le trajet de Zig en rouge sʼappuie alternativement sur les droites X puis Y puis X…et celui de Puce en bleu

sur les droites Z puis Y puis Z…..

Zig tel le lièvre de la fable part 40 secondes après Puce. Ils ne reviennent jamais en arrière et moins de cinq minutes après le départ de Puce, ils repassent ensemble par le point de départ.

Trouver les valeurs des angles a et b.

Soient A, B, C les extrémités des trois premiers pas de Zig, et t l’angle du premier pas avec OY.

On a DBC=t, DAB=180-2t, DAC=180+a-t, BAC=a+t, ABC=180-2a-2t, DBC=180-2a-t : BC fait donc un angle t’=2a+t avec OY.

Si Zig revient à son point de départ après 2n pas, le 2n+1-ième pas serait DA donc t+2na=t+360p donc na=180p.

Pour Puce, qui fait huit pas de plus, puisque (n+4)b=180q et 180q>(n+4)a>na=180p donc q>p. Les valeurs les plus simples sont p=1, q=2, qui donnent les deux solutions : n=5, a=36, b=40 et n=6 a=30, b=36 (mais dans cette solution, Puce est déjà passé une fois par le point D).

Si l’on suppose que Zig et Puce repassent par D ensemble et chacun pour la première

fois, la solution est n=5, a=36, b=40.