E444 – La dernière bille [** à la main]
Zig et Puce prennent à tour de rôle des billes dans un sac qui en contient n ≥ 2. Zig commence la partie et prend au moins une bille mais pas plus que n – 1. A chaque tour chaque joueur doit prendre au moins une bille mais pas plus que le nombre de billes retenu par son adversaire au tour précédent. Le vainqueur est celui qui ramasse la dernière bille. Qui a une stratégie gagnante ?
Solution
Si l’entier n est une puissance de 2, de la forme n = 2 avec k ≥ 1, Zig est perdant. A k contrario, pour tout entier qui n’est pas une puissance de 2, Zig est toujours vainqueur.
La démonstration se fait avec un raisonnement par récurrence :
- si k = 1, n = 2. Zig prend une bille et Puce en prenant la deuxième bille gagne la partie.
- si k = 2, n = 4 .Trois cas sont possibles :
1) Zig prend une bille. Aux 2ième et 3ième tours Puce et Zig prennent chacun à son tour une bille. Puce ramasse la dernière et gagne la partie.
2) Zig prend deux billes. Puce fait de même et gagne la partie 3) Zig prend trois billes. Puce ramasse la dernière et gagne la partie
On suppose que jusqu’au rang k, les valeurs de n de la forme n = 2 font perdre Zig. k Soit n = 2k1.
Si au 1er tour Zig prend p ≥2 , Puce gagne évidemment en prenant toutes les billes restantes. k Si Zig prend p billes avec 2 > p ≥ k 2k1 billes, alors Puce au tour suivant prend q = 2 – p k billes ≤ 2k1 et ramène le nombre de billes dans le sac à 2 qui est une position perdante pour k Zig.
Si Zig prend p billes au 1er tour avec 1 ≤ p < 2k1, Puce opère de manière à ce que Zig se retrouve à l’un des tours suivants avec 2 billes dans le sac, c’est à dire avec une k
configuration perdante pour lui. Or Puce est certain de parvenir à ses fins car pour passer de
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2k billes à2 billes, il y a k 2 billes à enlever dont la dernière est enlevée par Puce, ce qui k revient à dire qu’on est ramené au problème d’une configuration initiale de 2 billes qui est k toujours perdante pour Zig d’après l’hypothèse de la récurrence.
Avec un entier n distinct d’une puissance de 2, Zig peut prendre un nombre de billes qui ramène le nombre de billes dans le sac à la puissance de 2 la plus proche. Puce se trouve alors placé dans la position qui était précédemment celle de Zig. Bien entendu Zig doit se garder d’enlever la moitié ou plus des billes du sac. C’est pourquoi, il est impératif qu’il retienne la puissance de 2 la plus proche.
