TABLE RONDE CLAUDIO BAIOCCHI

TABLE RONDE

CLAUDIO BAIOCCHI

R´esum´e. On s’int´eresse au Probl`eme A229 paru dansDiophante, mai 2009 : Un nombre impair N de chevaliers participent `a un gigantesque banquet autour de la fameuse Table Ronde. Chaque convive est invit´e `a choisir un nombre entier (positif, n´egatif ou nul) et `a le communiquer `a chacun de ses deux voisins. Chaque chevalier re¸coit donc deux nombres dont il calcule la moyenne arithm´etique. Pro- bablement sous l’influence de Merlin l’enchanteur, les r´esultats an- nonc´es par le pr´esident de l’Ordre puis par les N-1 autres chevaliers pris un par un dans le sens des aiguilles d’une montre donnent la s´equence croissante des entiers naturels 1,2,3,. . .,N. L’´ecart entre les nombres choisis par les deux chevaliers Lancelot du Lac et Per- ceval le Gallois qui ont annonc´e respectivement 984 et 2, est gal `a 5000. Combien y a-t-il de convives ?

Un (N+1)<sup>i`eme</sup> retardataire arrive et s’installe `a la droite du Pr´e- sident `a la position N+1. Ils recommencent tous le mˆeme exercice et annoncent `a nouveau la suite des entiers naturels 1,2,3,. . .,N+1 toujours dans le mˆeme ordre que pr´ec´edemment. Quels sont les nombres choisis par les deux chevaliers Lancelot du Lac et Perceval le Gallois ?

On va montrer que N=2009 ; et que, dans le deuxi`eme round, Lancelot et Perceval ont choisi respectivement 1989 et -1003.

Pour j = 1, 2, . . . , N on note C

la valeur choisie par le j

chevalier (celui qui a annonc´e le nombre j). Si, pour x, y `a fixer conv´enablement, on pose C

:= 1 + x et C

:= 2 − y, la propri´et´e de moyenne force C

= 3 − x, puis C

= 4 + y et ainsi de suite ; la formule g´en´erale ´etant :

(1) C

=

 

 



 

 

j + x pour j de la forme 4k + 1 ; j − y pour j de la forme 4k + 2 ; j − x pour j de la forme 4k + 3 ; j + y pour j de la forme 4k ;

en particulier, pour ce qui concerne les valeurs choisies par Perceval et Lancelot : (2)

( Perceval a choisi C

= 2 − y ; Lancelot a choisi C

= 984 + y ;

donc on a pour l’´ecart 5000 = | (2 − y) − (984 + y) | = | 2y + 982 | = 2 | y + 491 | , soit

(3) y = − 491 ± 2500.

Date: 22 mai 2009.

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2 CLAUDIO BAIOCCHI

Naturellement (la table est ronde !) on doit encore imposer deux propri´et´es de moyenne :

(4) C

+ C

2 = N , C

+ C

2 = 1.

ce qui, d’apr`es (1) et grˆ ace ` a l’information “N impaire”, donnent lieu ` a l’alternative : (5)

( x = 0 , y = N si N est de la forme 4k + 1 ; x = N , y = 0 si N est de la forme 4k + 3.

La deuxi`eme possibilit´e est exclue par (3) ; la premi`ere, toujours d’apr`es (3) et grˆ ace

`a N > 0, force y = N = 2009 ; et la valeur 2009 est bien de la forme 4k + 1.

Pour ce qui concerne le dernier point, on sait que les convives sont maintenant 2010, nombre de la forme 4k + 2 ; (1) et (4) deviennent

(2009 + x) + (1 + x)

2 = 2010 , (2010 − y) + (2 − y)

2 = 1

ce qui donne x = y = 1005 ; revenant ` a (2) on d´eduit que les valeurs choisies

respectivement par Perceval et Lancelot sont -1003 et 1989.