G2968 – Les chevaliers de la Table ronde [** à la main]
Le roi Arthur a convoqué n chevaliers installés autour de la Table ronde dans le sens horaire 1,2,…n.
Choisissant un entier k et partant du chevalier n°1, il fait le tour de la Table dans le sens horaire, dit à voix haute les entiers 1,2,..k et donne une nouvelle tunique au chevalier devant lequel il prononce l’entier k. Il poursuit le processus jusqu’à ce qu’il tombe sur un chevalier qui a déjà reçu une tunique.
Il effectue ensuite une distribution de cottes de maille et pour terminer une distribution de heaumes selon le même principe en retenant respectivement les entiers k + 1 et k + 2, toujours en partant du chevalier n°1.
On constate que 80 chevaliers n’ont pas reçu de nouvelles tuniques et 75 chevaliers n’ont pas reçu de cottes de mailles.
Déterminer l’entier n et le nombre de chevaliers qui ont reçu un heaume et identifier les chevaliers qui ont reçu les trois équipements (tunique, cotte de maille, heaume).
Solution proposée par Daniel Collignon
En notant p=PGCD(n,k) et q=PGCD(n,k+1), nous avons les relations : n(1-1/p) = 80
n(1-1/q) = 75
D'où 1 = 16/q-15/p admettant pour unique solution q=4 et p=5, d'où n=100.
Alors k=0 (mod 5) et k+1=0 (mod 4) D'où k+5 = 0 (mod 20)
Soit k=15 pour tenir compte du nota en minimisant le nombre de tours.
PGCD(100,17)=1 => tous les chevaliers auront obtenu un heaume
Les chevaliers qui ont reçu les 3 équipements sont de la forme un + un multiple de 20 : 1, 21, 41, 61 et 81.
