H10277. Chevaliers de la Table Ronde
La nouvelle salle de banquet du roi Arthur est si sonore qu’autour de la table ronde, chaque convive ne peut causer qu’avec ses deux voisins immédiats.
En conséquence, Arthur programme une série de banquets dont les plans de table permettront à chacun (Arthur et ses chevaliers) d’avoir causé avec tous les autres.
Combien de banquets faut-il, au minimum, si Arthur est entouré de 14 che- valiers ? Pouvez-vous généraliser ànchevaliers ?
Solution
Sept banquets suffisent : notant les convives par les lettres de A (comme Arthur) à O, les convives seront par exemple dans l’ordre
ABCODNEMFLGKHJI, ACDBEOFNGMHLIKJ, ADECFBGOHNIMJLK, AEFDGCHBIOJNKML, AFGEHDICJBKOLNM, AGHFIEJDKCLBMON, AHIGJFKELDMCNBO.
Plaçant B, C, . . ., O en cercle autour de A, vous verrez que les 105 voi- sinages procurés par ces 7 banquets correspondent aux 91 diagonales du polygone à 14 sommets et aux 14 rayons menés depuis A. Ces 7 plans de table fournissant 15 voisinages se correspondent par rotation.
De même,kbanquets suffisent pour 2kchevaliers en plus d’Arthur, et aussi pour 2kchevaliers Arthur compris. En effet, on forme alors le même schéma en ajoutant un chevalier fictif : enlevant le couvert de celui-ci, k paires de chevaliers voisineront plus d’une fois. Par exemple, avec 13 chevaliers (de B à N), soit O le chevalier fictif ; la liste de banquets précédente conduit à 7 paires qui voisinent deux fois : AB, CD, EF, GH, IJ, KL, MN.
