G2968 – Les chevaliers de la Table ronde [** à la main]
Le roi Arthur a convoqué n chevaliers installés autour de la Table ronde dans le sens horaire 1,2,…n.
Choisissant un entier k et partant du chevalier n°1, il fait le tour de la Table dans le sens horaire, dit à voix haute les entiers 1,2,..k et donne une nouvelle tunique au chevalier devant lequel il prononce l’entier k. Il poursuit le processus jusqu’à ce qu’il tombe sur un chevalier qui a déjà reçu une tunique.
Il effectue ensuite une distribution de cottes de maille et pour terminer une distribution de heaumes selon le même principe en retenant respectivement les entiers k + 1 et k + 2, toujours en partant du chevalier n°1.
On constate que 80 chevaliers n’ont pas reçu de nouvelles tuniques et 75 chevaliers n’ont pas reçu de cottes de mailles.
Déterminer l’entier n et le nombre de chevaliers qui ont reçu un heaume et identifier les chevaliers qui ont reçu les trois équipements (tunique, cotte de maille, heaume).
Solution proposée par Maxime Cuenot
Pour que le chevalier occupant la p-ième place obtienne une tunique, il faut qu’au bout d’un certain nombre de tours le Roi arrive face à lui, c’est-à-dire qu’il existe a et b tels que ak = bn+p. Dit autrement, il obtiendra une tunique ssi pgcd(k, n) | p. Par conséquent, le roi distribuera n / pgcd(k, n) tuniques et de même il
distribuera n / pgcd(k+1, n) cottes de maille.
On a donc à résoudre : n – n / pgcd(k, n) = 80 n – n / pgcd(k+1, n) = 75 soit
[ n / pgcd(k, n) ] * [pgcd(k, n)-1] = 80 [ n / pgcd(k+1, n) ] * [pgcd(k+1, n)-1] = 75
On en déduit que le pgcd(k, n) vaut une valeur parmi {2, 3, 5, 6, 9, 11, 17, 21, 41, 81} et que n vaut une valeur parmi, respectivement, {160, 120, 100, 96, 90, 88, 85, 84, 82, 81}.
De même, le pgcd(k+1, n) vaut une valeur parmi {2, 4, 6, 16, 26, 76} et n vaut une valeur parmi, respectivement, {150, 100, 90, 80, 78, 76}.
Le rapprochement permet d’identifier deux valeurs possibles pour n, 90 et 100.
Supposons n=90 : on a alors pgcd(n, k) = 9 et pgcd(n, k+1) = 6. La résolution est impossible car ces deux égalités impliquent qu’à la fois k et k+1 sont multiples de 3.
On a donc nécessairement n=100. Les valeurs possibles de k sont donc toutes celles s’écrivant
k = 5 * produit_i (p_i ^ a_i) où les pi sont des nombres premiers distincts, différents de 2 et 5, et pour k+1 : k+1 = 4 * produit_i (p_i ^ a_i) où les pi sont des nombres premiers distincts, différents de 2 et 5.
Minimiser le nombre de tours à faire par le Roi revient à prendre la valeur de k la plus petite possible respectant ces deux équations, soit k = 5*3 = 15.
La distribution des heaumes s’effectue en utilisant l’entier k+2 = 17, premier avec 100 : tous les chevaliers reçoivent donc un heaume.
Enfin, on dénombre seulement 5 chevaliers recevant un équipement complet, ceux placés sur les sièges multiples de 4*5 = 20.
