A229. Le banquet des chevaliers de la Table Ronde
Notonsui le nombre choisi par le chevalier annonçant le résultati.
Alors2i=ui−1+ui+1pour16i6Navec la conventionu0=uN etuN+1=u1. Ainsi
N
X
i=1
i=
N
X
i=1
ui= N(N+ 1)
2 .
Par récurrence, nous exprimons tous les termes à l'aide deu0 etu1: u4i= 4i+u0
u4i+1= 4i+u1 u4i+2= 4i+ 2−u0 u4i+3= 4i+ 4−u1
Remarquons que la somme de ces 4 termes vaut16i+ 6.
CasN = 4k+ 1
N
X
i=1
ui=8k²+ 6k+u1.
N(N+1)
2 = 8k²+ 6k+ 1.
D'oùu1= 1.
CasN = 4k+ 3
N
X
i=1
ui=8k²+ 14k+ 6−u0.
N(N+1)
2 = 8k²+ 14k+ 6.
D'oùu0= 0.
Utilisons à présent le fait queu984−u2=±5000.
Nous avonsu2= 2−u0 etu984= 984 +u0,d'où u2+u984= 986.
Alorsu0=−491±25006= 0.
Ainsi c'est donc queN = 4k+ 1etuN = 4k+u1= 4k+ 1 =N =u0. Il y a doncN = 2009convives.
Le même raisonnement avec u0 = uN+1 = u4k+2 = 4k+ 2−u0 conduit à u0= N+12 = 1005.Ainsiu2= 2−u0=−1003et u984= 984 +u0= 1989.
Pour être complet,
N+1
X
i=1
ui= 8k²+ 10k+ 2 +u1−u0et (N+ 1) (N+ 2)
2 = 8k²+ 10k+ 3 entraînentu1−u0= 1,et donc u1= 1006.
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