H129 : Les 2007 chevaliers de la table ronde
Soient 2N chevaliers dont chacun a au moins N amis (et donc au plus N-1 ennemis).
Disposons au hasard les chevaliers autour de la table ; si chacun a un ami à sa droite, le problème est résolu ; sinon, il existe un certain nombre de frictions, c’est à dire de dispositions …AB… (dans le sens trigonométrique) où A a un ennemi B à sa droite. En poursuivant le tour de table au delà de B, on trouve obligatoirement une paire A’B’ (dans cet ordre) où A’ est ami de A et B’ ami de B : en effet A a au moins N amis, qui ne
peuvent être chacun suivi d’un ennemi de B (qui sont au plus N-1). Nous pouvons alors renverser l’ordre des commensaux entre B et A’ : on remplace …ABC…DA’B’… par
…AA’D…CBB’… On a fait disparaître la friction AB, sans risquer d’en faire apparaître une nouvelle, puisque, entre B et A’, chacun a gardé les mêmes voisins.
Il suffit d’itérer le processus pour faire disparaître toutes les frictions.
