D1868. Une sangaku à la romaine
Problème proposé par Claudio Baiocchi
Donner tout renseignement permettant de construire la figure suivante à partir du petit cercle dont le rayon est égal à l’unité:
Les centres des arcs de cercles de rayon 2 sont sur la diagonale du rectangle ainsi que les points de contact de ces cercles avec le cercle de rayon 1.
Soit x la demi diagonale du rectangle.
Les côtés du rectangle font avec la diagonale des angles a et b tels que sin a = 2/(x+1) et sin b = 2/(x – 1).
Ils sont perpendiculaires donc (2/(x+1))² +(2/(x – 1))² = 1.
En posant y = x² on obtient l'équation y² – 10y – 7 = 0 y = 5 + 4√2 x = √(5 + 4√2)
On place deux cercles de rayon 2 centrés en (– 1 , 0) et (+1,0), depuis le point C ( – (5 + 4√2), 0) on trace une tangente à l'un des cercles, la perpendiculaire en C à cette droite qui est tangente à l'autre cercle.
En complétant cette figure par symétrie de centre (0,0) on obtient le rectangle.
Après effacement des droites et arcs de cercles inutiles on obtient la figure suivante :
Les angles de la diagonale avec les côtés valent arcsin(2/(√(5 + 4√2) + 1)), soit approximativement 62,03° et 27,97°.
