E212. Les beaux nombres
Problème proposé par Raymond Bloch
Un entier de k chiffres (2 ≤ k ≤10) est beau s’il comporte k chiffres distincts sans commencer par 0 et si toute paire de chiffres consécutifs a un produit qui se lit dans la chaîne de caractères de cet entier.
Par exemple l'entier 3412 est beau et 36184 ne l’est pas car le produit 4*8 = 32 n'apparaît pas dans cet entier.
Q1 Pour chacune des valeurs de k variant de 2 à 10, trouver un beau nombre.
Q2 Démontrer qu’il existe un seul beau nombre de 8 chiffres qui contient les chiffres de 1 à 8 et qu’il n’y a aucun beau nombre de 9 chiffres qui contient les chiffres de 1 à 9.
Q3 Pour chacune des valeurs de k variant de 2 à 10 trouver le plus grand beau nombre puis le plus petit beau nombre.
Solution proposée par Claudio Baiocchi
Une possible réponse à Q1 est donnée dans le tableau suivant : 9 8 7 2 3 0 5 6 1 4
8 7 2 3 0 5 6 1 4 7 2 3 0 5 6 1 4 2 3 0 5 6 1 4 2 3 0 5 6 1
3 0 5 6 3 0 5 3 0
Un petit programme montre que la réponse à Q3 est donnée par :
k = 2 3 4 5 6 7 8 9 10
min 10 102 1025 12034 120345 1032486 13205486 132054869 3205486917 max 91 918 9218 92418 924618 9814072 98514072 976318042 9872305614
Pour ce qui concerne Q2 il faut au préalable contrôler ce qui se passe lorsqu’un nombre N (avec k=8 ou k=9, peu importe) contient le chiffre 5 mais non le chiffre 0.
On s’aperçoit aisément qu’il existe trois seules possibilités : 1. N termine par le group 15
2. N commence par le group 51 3. N contient le group 153
En fait si le 5 était suivi par un chiffre pair, il faudrait utiliser quelque part le chiffre 0 ; tandis que, si le 5 était suivi ou précédé par 7 ou par 9, il faudrait utiliser un deuxième chiffre 5 quelque part.
Maintenant c’est le chiffre 7 qui pose des difficultés, et on conclut que le nombre N doit commencer par 7153 ; encore la suite 2486 est forcée et on n’a plus la possibilité de placer le chiffre 9. Le nombre 71532486 est donc le seul beau nombre composé par les chiffres de 1 à 8, et il n’existe pas de beaux nombres à 9 chiffres qui ne contiennent pas le 0.
