E338. Les âges magiques
Problème proposé par Raymond Bloch
Je suis accompagné de six amis. Leurs âges et le mien exprimés en années sont des entiers distincts compris entre 15 et 99. Les six produits des six âges par le mien sont les six permutations d'un nombre entier de trois chiffres distincts et différents de 0. Quels sont nos sept(¹) âges?
(1) souvent considéré comme chiffre "magique"
Solution proposée par Daniel Collignon
Notons m mon âge et 15 =< a1 < a2 < a3 < a4 < a5 < a6 =< 99 les 6 âges.
Nous avons alors les relations suivantes : m*a1 = abc avec 0<a<b<c<10
m*a2 = acb m*a3 = bac m*a4 = bca m*a5 = cab m*a6 = cba
Par sommation m(a1 + ... + a6) = 111(a+b+c), ce qui donne un encadrement pour m =< 111(9+8+7)/(15 + ... + 20) = 25 + 13/35 .
Ainsi 15 =< m =< 25.
Par différence des 2 relations centrales, nous avons m(a4 - a3) = 9(c-a).
D'où a4 - a3 =< 9(9-1)/15 = 4 + 4/5.
Ainsi 1 =< a4 - a3 =< 4.
Si a4 - a3 = 1, 2 ou 4, alors m étant un multiple de 9, m = 18 Si a4 - a3 = 3, alors m est un multiple de 3, m = 15, 18, 21 ou 24.
On peut éliminer m = 15, car entre a3 et a4 l'un sera pair et le produit se terminerait par 0.
m = 18 : m étant pair, il en est de même pour a, b et c, d'où 12 = 2+4+6 =< a+b+c =< 8+6+4 = 18 Comme abc est un multiple de 9, il en est de même pour a+b+c, d'où a+b+c = 18.Nous vérifions alors :
18*26 = 468 18*27 = 486 18*36 = 648 18*38 = 684 18*47 = 846 18*48 = 864
m = 21 => c-a = 7 et a+b+c est un multiple de 7
Comme abc est un multiple de 3, il en est de même pour a+b+c, d'où a+b+c = 21 : impossible car alors 28 = b+2c < 8+2*9=26
m = 24 : m étant pair, il en est de même pour a, b et c ; mais c-a = 8 nécessiterait c = 9 et a = 1 impairs
Conclusion : les sept âges sont 18, 26, 27, 36, 38, 47 et 48.
