A335 – Les nombres chanceux Solution proposée par David Amar
Question 1)
P\Q 2 3 4 5 6 7 8 9 1
0 1 1
1 2
1 3
1 N O N N O O O O O N O N
2 O N N O O N O N O O O
3 N N N O N O N N N N
4 N O O N O N O O O
5 O O O O N N O O
6 O N O N O N O
7 N O N N O O
8 O N O O O
9 N N N N
10 O O O
11 O O
12 O
Les plus compliqués :
6/7 (chanceux car les 41-42èmes décimales sont 4 et 2)
6/7 = 0.857142857142…On remarque que la 6k-ième décimale est un 2, précédée d’un 4.
Les malchanceux en (2k+1)/11 : les décimales de rang n n’ont pas la même parité que n.
4/13 (chanceux car les 75-76èmes décimales sont 7 et 6)
4/13 = 0.307692307692…On remarque que la 6k+4ème décimale est un 6, précédée d’un 7.
6/13 (chanceux car les 52-53èmes décimales sont 5 et 3)
6/13 = 0.461538461538…On remarque que la 6k+5ème décimale est un 3, précédée d’un 5.
8/13 (chanceux car les 14-15èmes décimales sont 1 et 5)
8/15 = 0.615384615384…On remarque que la 6k+3ème décimale est un 5, précédée d’un 1.
Les malchanceux en k/13 : les décimales de rang n n’ont pas la même parité que n.
Question 2)
5/17 = 0.2941176470588235…
Pour chercher des coïncidents à la position n ; il faut se pencher sur la parité de n et de la décimale (qui revient de manière cyclique toutes les 16 fois). S’il y a un coïncident, il est donc nécessairement en position n=5+16k, 8+16k, 9+16k, 10+16k, 11+16k, 12+16k, 14+16k ou 15+16k
N=5+16k ; décimale : 1
Il faudrait avoir un nombre en 5+16k qui finisse par 1 ; donc un nombre en 21+80k.
Le chiffre qui précède 1 est alors toujours pair ; or on cherche à avoir un autre 1.
N = 8+16k ; décimale : 4
Il faudrait avoir un nombre en 8+16k qui finisse par 4 ; donc un nombre en 24+80k.
Le chiffre qui précède 4 est alors toujours pair ; on cherche à avoir un 6 ; donc n=264+400k.
Le chiffre qui précède 6 est alors toujours pair ; or on cherche à avoir un 7.
N = 9+16k ; décimale : 7
Il faudrait avoir un nombre en 9+16k qui finisse par 7 ; donc un nombre en 57+80k.
Le chiffre qui précède 7 est alors toujours impair ; or on cherche à avoir un 4.
N = 10+16k ; décimale : 0
Il faudrait avoir un nombre en 10+16k qui finisse par 4 ; donc un nombre en 10+80k.
Le chiffre qui précède 0 est alors toujours impair ; on cherche à avoir un 7 ; donc n=170+400k.
Le chiffre qui précède 7 est alors toujours impair ; or on cherche à avoir un 4.
N = 11+16k ; décimale : 5
Il faudrait avoir un nombre en 11+16k qui finisse par 5 ; donc un nombre en 75+80k.
Le chiffre qui précède 5 est alors toujours impair ; or on cherche à avoir un 0.
N = 12+16k ; décimale : 8
Il faudrait avoir un nombre en 12+16k qui finisse par 8 ; donc un nombre en 28+80k.
Le chiffre qui précède 8 est alors toujours pair ; or on cherche à avoir un 5.
N = 14+16k ; décimale : 2
Il faudrait avoir un nombre en 14+16k qui finisse par 2 ; donc un nombre en 62+80k.
Le chiffre qui précède 2 est alors toujours pair ; on cherche à avoir un 8 ; donc n=382+400k.
Le chiffre qui précède 8 est alors toujours impair ; or on cherche à avoir un 8.
N = 15+16k ; décimale : 3
Il faudrait avoir un nombre en 15+16k qui finisse par 3 ; donc un nombre en 63+80k.
Le chiffre qui précède 3 est alors toujours pair ; on cherche à avoir un 2 ; donc n=223+400k.
Le chiffre qui précède 2 est alors toujours pair ; on cherche à avoir un 8 ; donc n=1823+2000k.
Le chiffre qui précède 8 est alors toujours pair ; or on cherche à avoir un 1.
Conclusion : 5/17 n’est pas chanceux
11/19 = 0.578947368421052631…
Pareil, on va chercher n de la forme 1+18k, 7+18k, 8+18k, 10+18k, 16+18k ou 17+18k Pour N = 1+18k ; Il faudrait avoir
n=1+18k, qui finisse par 5; donc n est de la forme 55+90k
n=55+90k, qui finisse par 15; donc n est de la forme 415+900k.
n=415+900k, qui finisse par 315; donc n est de la forme 1315+9000k.
n=1315+9000k, qui finisse par 6315; donc n est de la forme 46315+90000k.
n=46315+90000k, qui finisse par 26315; donc n est de la forme 226315+900000k.
n=226315+900000k, qui finisse par 526315; donc n est de la forme 6526315+9000000k.
n=6526315+9000000k, qui finisse par 0526315; donc n est de la forme 60526315+90000000k.
n=60526315+90000000k, qui finisse par 10526315; donc n est de la forme 510526315+900000000k.
n=510526315+900000000k, qui finisse par 210526315; donc n est de la forme 3210526315+9000000000k.
n=3210526315+9000000000k, qui finisse par 4210526315; donc n est de la forme 84210526315+90000000000k.
n=84210526315+90000000000k, qui finisse par 84210526315; par exemple n=84210526315.
Inutile de chercher plus loin.
Conclusion : 11/19 est chanceux, en effet les 11 décimales de la 84210526305 à la 84210526315 forment le nombre 84210526315.
Question 3)
Pi est chanceux (3.14…)
e est chanceux (les 61-62èmes décimales sont 6 et 2)
Racine de 2 est chanceux (les 86-87èmes décimales sont 8 et 7) Racine de 3 est chanceux (1.73205…)
Racine de 5 est chanceux (les 494-495-496èmes décimales sont 4, 9 et 6)
Question 4)
Pour simplifier, on va se focaliser uniquement sur les valeurs de P pour (c'est-à- dire la plus grande valeur de n ayant m chiffres).
On va montrer par récurrence que s’écrit de la forme
Pour m=1 ; .
En effet, la probabilité d’avoir un premier coïncident égal à n < 10 est . On somme toutes ces probabilités pour obtenir la formule ci-dessus.
Supposons qu’au rang m,
Au rang m+1 ; la probabilité d’avoir un premier coïncident égal à avec est :
En effet, c’est le produit de :
- la probabilité de ne pas avoir de coïncident égal à un nombre ayant moins de chiffres que n
- celle de ne pas en avoir égal à un nombre inférieur à n avec autant de chiffres que n - celle d’avoir un coïncident en n.
On somme tout ça pour obtenir :
CQFD.
On a donc
On passe le terme du produit en logarithme, et on effectue un développement pour ln(1- 1/10^i). On trouve -9/10 ; plus une série de termes en 1/10^i.
Le terme du produit tend vers ; qui est inférieur à 1. Lorsque n, et donc m, tendent vers l’infini, le produit tend alors vers 0 et par conséquent P tend vers 1.
