A434
Notonss2le nombre de soldats de la garde du palais. L’énoncé précise que “plus d’une semaine se passe”, aussi posons pourk >7,1 +. . .+k1 =ab aveca∧b= 1.
Nous devons donc résoudre l’équation diophantienneSa= 8431bs2.
Celle-ci admet pour famille de solution “évidente”(S, s) = (8431ab, a)pour tout kentier strictement positif.
De plus, pourkfixé, si(S, s)est une solution, alors Sn2, sn
est également une solution pour toutnentier.
Remarquons quebdiviseS puisque a∧b= 1.
Comme8431est un nombre premier, il divisea(cas 1) ou bienS (cas 2).
Avec des considérations arithmétiques élémentaires, nous montrons que : 1. a= 8431de2,S=bdf2 ets=def oùe∧f = 1.
2. a=de2,S = 8431bdf2 ets=def oùe∧f = 1.
Tout dépend donc de la décomposition dea.
Le plus souvent nous allons être dans le cas 2 avec au pire e = 1 où nous retrouvons la solution “évidente” évoquée plus haut.
Le concepteur de l’énoncé pensait-il à la solution du cas 1 pourk= 16? Celle-ci avecS = 720720ets2= 289soldats convient bien à un sultan “pingre”.
Webographie :
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A002805 http://www.research.att.com/~njas/sequences/A001008
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