A385 – Têtes de séries [*** à la main]
Q₁ Nous sommes trois entiers positifs distincts à sept chiffres communément appelés nombres de Niven (ou encore nombres Harshad) qui sont divisibles par la somme de leurs chiffres (en base 10).
Nous avons les caractéristiques suivantes :
- chacun de nous est le premier terme d’une suite de cinq entiers consécutifs croissants qui sont eux aussi des nombres de Niven,
- nous avons la même somme de nos chiffres respectifs qui est un nombre premier et parmi les sommes des chiffres des quatre entiers qui nous suivent, on trouve deux puissances parfaites d’ordre ≥ 2.
Qui sommes nous ?
Q₂ Je suis un nombre de Niven à neuf chiffres. Les huit entiers qui me suivent ont la même propriété et parmi les sommes de leurs chiffres on trouve un nombre premier et deux puissances parfaites d’ordre ≥ 2.
Qui suis-je ?
Solution proposée par Daniel Collignon
Q1
Pour un nombre à 7 chiffres, la somme des chiffres vaut au plus 9*7=63.
Les puissances parfaites d'ordre >=2 sont parmi 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49.
Dans une logique de sommes consécutives (*), il est aisé de vérifier qu'il n'y a que 3 cas possibles : 5, 6, 7, 8, 9 => ppcm 2 520, mais les multiples auront toujours une somme de chiffre >= 9
7, 8, 9, 10, 11 => ppcm 27 720, mais les multiples auront toujours une somme de chiffre >= 9 23, 24, 25, 26, 27 => ppcm 1 614 600
Le dernier cas conduit au triplet : 1 614 623, 3 229 223, 8 073 023
Q2
Pour un nombre à 9 chiffres, la somme des chiffres vaut au plus 9*9=81.
Au niveau des puissances parfaites d'ordre >=2, il convient d'ajouter 64 et 81.
Dans une logique de sommes consécutives (*), il est aisé de vérifier qu'il n'y a que 2 cas possibles : 20 à 28 => ppcm = 124 324 200
32 à 40 => ppcm > 10^9 : pas de solution
Le premier cas conduit à 2 solutions : 124 324 220 ou 621 621 020
(*) théoriquement il faudrait considérer des cas comme un changement de dizaine, centaine…
Car cela réduit la somme des chiffres de 8 (changement de dizaine), 17 (changement de centaine), … Et donc permet d'envisager d'autres combinaisons non consécutives, contenant un nombre premier et deux puissances parfaites d'ordre >=2.
Pour Q1 c'est peu probable car il y a un triplet à trouver.
