A2831. Les fractionnaires sont de la partie **

A2831. Les fractionnaires sont de la partie **

Par convention la partie fractionnaire d’un nombre réel x, notée {x}, est la différence entre ce nombre et sa partie entière par défaut. C’est un réel positif ou nul strictement inférieur à 1.

Problème n°1

x est un nombre réel positif tel que {x

} = {1/x} et 5793 < x

< 920482.

Déterminer la valeur de x

– 6765/x

Q1

Existe-t-il deux nombres x et y qui ne sont pas entiers tels que {x*y} = {x + y}?

Q2

Existe-t-il deux nombres x et y qui ne sont pas entiers tels que {x}*{y} = {x + y}?

PROPOSITION Th Eveilleau Problème 1

5793 < x

< 920482.  < x < donc 0.4142117 < {x} <0.732050 La partie entière de x est 1.

 5793

< x² < 920482

 2.00001053028

< x² < 2.9999997879 La partie entière de x² est 2.

< x < 

<

<

 <

<

La partie entière de 1/x est 0.

Donc {1/x} = 1/x Et {x²} = 1/x  x² = 2 +1/x  x

-2x -1 = 0  {x+1) (x² - x -1) = 0

 comme x >1, on a la solution positive :

Il s’agit du nombre d’or.

Nous avons x² = x+1  x

= {x+1)

=

Reprenons les termes a

, a

, ... a

de la suite de Fibonacci :

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765.

Nous avons la formule donnant les puissances successives du nombre d’or  : 

= a

*  + a

Ainsi 

= 6765 *  + 4181 et avec 1/ =  - 1 donc x

– 6765/x = 6765 *  + 4181 - 6765 ( - 1) x

– 6765/x = 4181 + 6765 = 10946

Alors on trouve 10946.

Problème 2 Q

Posons : avec n et m entiers : x = n + {x};

y = m + {y} ;

Somme

x+y = n +m + {x} + {y}

{x+y} = { {x} + {y} }

Produit

x*y = n*m + n*{y} + m*{x} + {x}* {y}

{x* y} ={ n*{y} + m*{x} + {x}*{y} } {x * y} = {n*{y}} + {m*{x} } + {{x} *y}

{x + y} = +{x} +{y} = n+m +{x} +{y}

Voici quelques solutions :

{0.2*7.25}={1.45}=0.45 ET {0.2+7.25} ={7.45}=0.45 {0.6*8.5}={5.1}=0.1 ET {0.6+8.5} ={9.1}=0.1 {0.84*7.25}={6.09}=0.09 ET {0.84+7.25} ={8.09}=0.09 {1.16*7.25}={8.41}=0.41 ET {1.16+7.25} ={8.41}=0.41 {1.32*7.25}={9.57}=0.57 ET {1.32+7.25} ={8.57}=0.57 {1.48*7.25}={10.73}=0.73 ET {1.48+7.25} ={8.73}=0.73 {1.8*2.25}={4.05}=0.05 ET {1.8+2.25} ={4.05}=0.05 {1.8*3.5}={6.3}=0.3 ET {1.8+3.5} ={5.3}=0.3 {1.8*7.25}={13.05}=0.05 ET {1.8+7.25} ={9.05}=0.05 {1.8*8.5}={15.3}=0.3 ET {1.8+8.5} ={10.3}=0.3 {1.8*9.75}={17.55}=0.55 ET {1.8+9.75} ={11.55}=0.55 {2.12*7.25}={15.37}=0.37 ET {2.12+7.25} ={9.37}=0.37 {2.25*1.8}={4.05}=0.05 ET {2.25+1.8} ={4.05}=0.05 {2.25*6.6}={14.85}=0.85 ET {2.25+6.6} ={8.85}=0.85 {2.25*8.2}={18.45}=0.45 ET {2.25+8.2} ={10.45}=0.45 {2.25*9.8}={22.05}=0.05 ET {2.25+9.8} ={12.05}=0.05 {2.6*3.5}={9.1}=0.1 ET {2.6+3.5} ={6.1}=0.1 {2.6*4.75}={12.35}=0.35 ET {2.6+4.75} ={7.35}=0.35 {3.4*3.5}={11.9}=0.9 ET {3.4+3.5} ={6.9}=0.9 {3.5*1.8}={6.3}=0.3 ET {3.5+1.8} ={5.3}=0.3 {3.5*2.6}={9.1}=0.1 ET {3.5+2.6} ={6.1}=0.1 {3.5*3.4}={11.9}=0.9 ET {3.5+3.4} ={6.9}=0.9 {3.5*5.8}={20.3}=0.3 ET {3.5+5.8} ={9.3}=0.3 {3.5*6.2}={21.7}=0.7 ET {3.5+6.2} ={9.7}=0.7 {3.5*7.8}={27.3}=0.3 ET {3.5+7.8} ={11.3}=0.3 {3.88*7.25}={28.13}=0.13 ET {3.88+7.25} ={11.13}=0.13 {4.04*7.25}={29.29}=0.29 ET {4.04+7.25} ={11.29}=0.29 {4.2*4.75}={19.95}=0.95 ET {4.2+4.75} ={8.95}=0.95 {4.68*7.25}={33.93}=0.93 ET {4.68+7.25} ={11.93}=0.93 Etc.

La réponse est positive pour Q

.

Q

Pour avoir {x}*{y} = {x+y}

Posons avec n et m entiers : x = n + {x} ;

y = m + {y}

{x+y} = (x}+(y} = n+m +((x}+(y}}

Il faudrait donc :

(x}*(y} = k + {{x}+(y}} avec k = (n+m) entier.

OR ((x}+(y}} = r + {{ x}+(y}} avec r= 1ou bien r=0  (x}*(y} = K + {x}+(y} avec K entier positif.

OR l’équation a*b = k +a+b

avec a et b réels non entiers, positifs inférieurs à 1 et k entier, n’a pas de solution.

En effet cela donne

b(a-1)=k+a  b = (k+a)/(a-1)

Comme 0<b<1 et (k+a)<0 car a<1, il n’y a pas de solution.

Avec k=0 on n’a pas de solution autre que : 2*2=2+2 OU 0*0 = 0 + 0

La réponse est négative pour Q

.