Diophante A2831 Les fractionnaires sont de la partie
Par convention la partie fractionnaire d’un nombre réel x, notée {x}, est la différence entre ce nombre et sa partie entière par défaut.
C’est un réel positif ou nul strictement inférieur à 1.
Problème n°1
x est un nombre réel positif tel que {x2} = {1/x} et 5793 < x25 < 920482.
Déterminer la valeur de x20– 6765/x Problème n°2
Q1 Existe-t-il deux nombres x et y qui ne sont pas entiers tels que {x*y} = {x + y}?
Q2 Existe-t-il deux nombres x et y qui ne sont pas entiers tels que {x}*{y} = {x + y}?
Problème n°1
La valeur est 10946
x2 - p = 1/x - q = ε où p et q sont des entiers, 0 ≤ ε < 1.
225/2 = 5792,6... et 325/2 = 920482,8... donc p = 2.
1/3 - q < ε ≤ 1/2 - q donc q = 0.
x2 - 2 = 1/x ou x3 - 2x = 1 ou encore (x + 1)(x2 - x - 1) = 0.
x est le nombre d'or (1 + ✓5)/2 = 1,6180...
x20 - 6765/x = x20 - 6765(x - 1) = F(20)x + F(19) - F(20)(x - 1) = F(19) + F(20) = F(21)
où F(n) est la série des nombres de Fibonacci F(0) = 0, F(1) = 1 et F(k) + F(k+1) = F(k+2).
F(21) = 10946.
Problème n°2 Q1
Oui
xy = p + ε et x + y = q + ε où p et q sont entiers, 0 ≤ ε< 1.
x et y sont solutions de t2 - (q + ε)t + (p + ε) = 0.
p et ε étant donnés, on peut toujours trouver q tel que le discriminant Δ = (q + ε)2 - 4(p + ε) soit positif et tel que {(q + ε) ± ✓Δ}/2 ne soient pas entiers.
Q2 Non
x = p + ε et y = q + ζ où p et q sont entiers, 0 < ε < 1 et 0 < ζ < 1.
x + y = p + q + ε + ζ = r + εζ où r est entier.
ε + ζ = 1 + εζ s'écrit (ε - 1)(1 - ζ) = 0 qui est impossible.
ε + ζ > ε > εζ donc ε + ζ = εζ est également impossible.
