Raisonnement mathématiques II
Cours de L1 par Frédéric Hélein
1, janvier–avril 2021
Jeudi 4 février 2021
Rappel :nous avons vu la définition des ouverts et des fermés deRainsi que certaines de leurs propriétés. Notamment : l’union d’une famille arbitraire d’ouverts est un ouvert et l’intersection d’une famillefinied’ouverts est un ouvert. De façon symétrique l’intersection d’une famille arbitraire de fermés est un fermé et une union d’une famille finie de fermés est un fermé. Il est utile de bien retenir les contre-exemples suivants, pour se souvenir des cas dangereux lorsqu’on manipule des intersections ou des réunions infinies :
\
n∈N∗
0,1 + 1 n
= ]0,1] est une intersection d’ouverts qui n’est pas un ouvert
[
n∈N∗
0,1− 1 n
= [0,1[ est une union de fermés qui n’est pas un fermé Noter que ]0,1] et[0,1[ne sont nides ouverts, ni des fermés.
2.5 Adhérence (suite et fin)
Rappelons que, si A⊂R eta ∈R, on dit que a est adhérent à A si
∀ε >0, ]a−ε, a+ε[∩ A6=∅ et que l’adhérence de A est noté A.¯
Exemple (suite et fin) Nous avons commencé à étudier l’adhérence de A =]0,1] et nous avons précédemment que [0,1] ⊂ A. Montrons qu’il y a égalité dans cette inclusion, il¯ suffit pour cela de montrer l’inclusion inverse A¯⊂[0,1], c’est à dire
∀x∈R, [ x∈A¯ ] =⇒ [ x∈[0,1] ] implication qui est encore équivalente à sa contraposée
∀x∈R, [ x6∈[0,1] ] =⇒ [ x6∈A¯ ]
Soit x∈R\[0,1]. Supposons par exemple que x <0. Alors il existeε >0 tel que ε <|x|
(prendre par exemple ε=|x|/2). Alors, commex+ε <0,
]x−ε, x+ε[ ⊂ ]− ∞,0[ ⊂ R\ [0,1]
et donc]x−ε, x+ε[∩A =∅. Doncx6∈A. La preuve dans le cas où¯ x >1est similaire.
D’autres exemples d’adhérence
1. Université de Paris, Licence 1 de Mathématiques,[email protected]
(i) ]0,1[ = [0,1[ = ]0,1] = [0,1] = [0,1].
(ii) Q¯ =R car, en effet, Q estdense dans R.
(iii) plus généralement, pour toute partie A ⊂ R, A est dense dans R ssi A¯ = R.
[Rappelons que, par définition, A est dense dans R si ∀a, b ∈ R, si a < b, alors ]a, b[ ∩A6=∅.] Ainsi R\Q=R.
Théorème 2.1 Soit A⊂R. Alors
(a) A¯ est le plus petit fermé (au sens de l’inclusion) contenant A, c’est à dire (i) A ⊂A¯ et A¯ est fermé;
(ii) ∀F ⊂R, si F est fermé, alors A⊂F =⇒ A¯⊂F.
(b) L’adhérence de A est égale à l’intersection de tous les fermés qui contiennent A :
A¯= \
F fermé ;A⊂F
F
Démonstration — Nous montrons d’abord (a) (i). Le fait que A ⊂ A¯ est relativement évident et a déjà été observé, il nous faut donc montrer queA¯est fermé. Pour l’instant la seule méthode que nous connaissons pour montrer qu’une partie deR est fermée consiste à considérer son complémentaire et à montrer qu’il est ouvert. Le complémentaire R\A¯ est l’ensemble des x∈R qui ne sont pas adhérents à A, c’est à dire tels que
[∀ε >0, ]x−ε, x+ε[∩ A6=∅] est faux cela revient à
[∃ε >0, ]x−ε, x+ε[ ∩ A=∅] est vrai (1) Soit donc x ∈ R\A, alors¯ x satisfait la propriété (1). Comme l’intervalle ]x−ε, x+ε[
est ouvert, c’est un voisinage de chacun de ses points, donc ∀y ∈]x−ε, x+ε[, ∃r > 0, ]y−r, y+r[⊂ ]x−ε, x+ε[, donc
]y−r, y+r[∩ A ⊂ ]x−ε, x+ε[ ∩ A 6= ∅ donc y∈R\A. Donc¯ R\A¯est ouvert et A¯ est fermé.
Montrons (a) (ii). Soit F un fermé contenant A, pour montrer que A¯⊂F, il faut et il suffit de montrer queR\F ⊂ R\A. Soit donc¯ x∈R\F. Nous traduisons le fait que F est fermé par le fait que R\F est ouvert et donc ∃ε > 0 tel que ]x−ε, x+ε[ ⊂ R\F. Mais de plus A⊂F, ce qui équivaut à R\F ⊂R\A, donc
]x−ε, x+ε[ ⊂ R\F ⊂ R\A
Soit encore]x−ε, x+ε[∩A=∅. Doncxsatisfait la propriété (1) plus haut qui caractérise R\A¯et ainsix∈R\A. On a donc bien¯ R\F ⊂ R\A.¯
Montrons (b). Notons
FA:= \
F fermé ;A⊂F
F
Dans un sens l’inclusion A¯ ⊂ FA est une conséquence de la propriété (a) (ii) que nous avons montrée. En effet d’une partFA est une intersection de fermés et est donc fermé et, d’autre part, cette intersection contient Apuisque chaque ensembleF qui intervient dans l’intersection FA contient A. Donc FA est fermé et A⊂FA et, en appliquant la propriété (a) (ii) à F =FA nous en déduisons que A¯ ⊂ FA.
Dans l’autre sens l’inclusion FA ⊂ A¯ est une conséquence de (a) (i) : A¯ est un fermé qui contient A donc il fait partie de la famille de fermés F dont on prend l’intersection
dans FA, donc A¯⊂A.¯
Remarque—La conclusion (i) du théorème précédent possède beaucoup d’analogies avec la définition de la borne supérieure d’une partie de R. En effet les propriétés (i) et (ii) signifient queA¯ est le plus petit des fermés majorant A, sauf qu’il faut remplacer la relation d’ordre≤ sur R par la relation d’inclusion
⊂dans l’ensemble des parties fermées deR.
2.6 Intérieur d’une partie de R
Définition 2.1 Soit A ⊂R. L’intérieur de A est le plus grand ouvert pour l’inclusion contenu dans A, on le note A. Cela signifie que :˚
(i) A˚⊂A et A˚est ouvert;
(ii) ∀O ⊂R, si O est ouvert, alors O ⊂A =⇒ O ⊂A.˚
Il est tout à fait légitime de se demander si cette définition a un sens : en effet, est-on sûr que, pour toute partie A de R il existe une partie A˚possédant les propriétés (i) et (ii) ? et, si oui, est-on sûr qu’elle est unique ? La réponse est positive. En effet, l’ensemble A˚=R\(R\A) est bien défini et le théorème précédent nous dit que A˚satisfait bien les propriétés (i) et (ii) de la définition de l’intérieur deA.
Exemples
(i) ]a, b[ = ˚˚ ]a, b[ = ˚]a, b] = ˚[a, b[ = ˚[a, b] =]a, b[.
(ii) si A= [a, b[∪[c, d], A˚=]a, b[∪]c, d[.
(iii) si A={a}, A˚=∅ (iv) Q˚=∅
Proposition 2.1 Soit A⊂R alors
(i) A est fermé si et seulement si A¯=A (ii) A est ouvert si et seulement si A˚=A.
Démonstration — La propriété (i) se démontre à partir du théorème 2.1. La propriété (ii) s’en déduit par passage au complémentaire (à faire en exercice).
2.7 Lien entre ensembles fermés et limites de suites
Proposition 2.2 Soit F ⊂R une partie fermée et soit (un)n∈N une suite à valeur dans F. Si (un)n∈N converge vers une limite ℓ, alors ℓ∈F.
Démonstration — SoitF ⊂R un fermé et(un)n∈N une suite qui prend ses valeurs dansF et qui converge versℓ. Nous allons raisonner par l’absurde et nous supposons queℓ∈R\F. CommeF est fermé, R\F est ouvert et donc ∃r >0tel que ]ℓ−r, ℓ+r[ ⊂ R\F.
Mais par ailleurs limn→+∞un=ℓ et donc
∀ε >0, ∃N ∈N, ∀n∈N, n≥N =⇒ un ∈]ℓ−ε, ℓ+ε[
Cette propriété marche bien évidemment pour ε = r, on en déduit l’existence d’entiers n∈N tels queun ∈]ℓ−r, ℓ+r[. Mais comme la suite prend ses valeurs dansF, on a aussi un ∈ F. Donc ]ℓ−r, ℓ+r[ ∩ F 6= ∅, ce qui contredit le fait que ]ℓ−r, ℓ+r[ ⊂ R\F :
c’est impossible. Donc ℓ∈F.
Corollaire 2.1 SoitA⊂Ret soit(un)n∈N une suite à valeur dansA. Si(un)n∈N converge vers une limite ℓ, alors ℓ∈A.¯
Démonstration — En effet si la suite(un)n∈Nprend ses valeurs dansA,a fortiori elle prend ses valeurs dansA. Comme¯ A¯est fermé, il suffit d’appliquer la proposition précédente avec
F = ¯A.
