A2831 . Les fractionnaires sont de la partie
Par convention la partie fractionnaire d’un nombre réel x, notée {x}, est la différence entre ce nombre et sa partie entière par défaut. C’est un réel positif ou nul strictement inférieur à 1.
Problème n°1
x est un nombre réel positif tel que {x2} = {1/x} et 5793 < x25 < 920482.
Déterminer la valeur de x20 – 6765/x Problème n°2
Q1 Existe-t-il deux nombres x et y qui ne sont pas entiers tels que {x*y} = {x + y}?
Q2 Existe-t-il deux nombres x et y qui ne sont pas entiers tels que {x}*{y} = {x + y}?
Solution proposée par Nicolas Petroff
Problème n°1 : 5793 < x25 < 920482
< x < x est de la forme
,
.
Posons z = , et comme {x2} = . D’autre part {1/x} =
. Posons u = z + 1 = x . Or .
Comme x > 0 : cette équation admet comme racine > 1 le nombre d’or : x = = 1.6180339887…
Parmi les relations entre et les nombres de Fibonacci, on a :
, or et , x20 – 6765/x = , mais = 10946 = x20 – 6765/x .
--- Problème n°2 :
(Q1) Soient m et n deux entiers et x et y deux réels : | x| = m + a et |y| = n + b avec a et b deux entiers : a 999 et b 999 et supposons (a,b,m,n) , où |x| = valeur absolue de x . {x*y} = {x + y} .
.
Supposons que : et que : a . Si {x*y} = {x + y} est vrai , .
Envisageons différentes hypothèses :
- Si m et n sont , l’équation précédente est impossible . - Si m = n = 0 ,
qui a pour seule solution a = b = 2000 mais comme a + b = 4000 , cette solution est encore impossible .
- Si n et m = 0 , : un automate VBA Excel à recherches exhaustives permet d’obtenir les solutions :
(m,n,a,b) = (0,2,200,250) , (0,4,40,125) , (0,7,40,250) et comme ces solutions vérifient bien et a , ce sont donc des solutions admissibles et dans ce cas : (|x| , |y|) = (0.200 , 2.250) , (0.040 , 4.125) , (0.040 , 7.250)
- Si n = 0 et m , de façons identique on obtient : , équation qui par le même automate permet d’obtenir les solutions :
(m,n,a,b) = (2,0,250,200) , (4,0,125,40) , (7,0,250,40)
(|x| , |y|) = (2.250 , 0.200) , (4.125 , 0.040) , (7.250 , 0.040)
Il y a donc au moins 6 solutions pour les valeurs absolues de x et y pour la proposition
{x*y} = {x + y}? et donc au moins 24 solutions pour x et y en faisant varier les signes + et – devant les valeurs |x| et |y| .
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(Q2) {x}*{y} = {x + y} où |x| = m + a et |y| = n + b et a et b {x}*{y} = avec (Max(a*b) = 81).
(h1) Si (a + b) < 10 : {x + y} = m + n + (a + b) – (m + n) = (a + b) ?
?
? . Or b et
pas de solution dans cette 1ère hypothèse . (h2) Si (a + b) = 10 : {x + y} = 0 pas de solution dans cette 2ième hypothèse .
(h3) Si s = (a + b) > 10 : {x + y} = (m + n + 1) + (s – 10) - (m + n + 1) = (s – 10) ? ? avec a et s entiers et et ?
Cette équation du 2ième degré a pour discriminant deux racines : , mais solution impossible et : mais = 10 autre solution impossible encore pas de solution dans cette 3ième hypothèse .
Donc il n’y a pas de solution pour {x}*{y} = {x + y}
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