A2831. Les fractionnaires sont de la partie MB
Par convention la partie fractionnaire d’un nombre réel x, notée {x}, est la différence entre ce nombre et sa partie entière par défaut. C’est un réel positif ou nul strictement inférieur à 1.
Problème n°1
x est un nombre réel positif tel que {x2} = {1/x} et 5793 < x25 < 920482.
Déterminer la valeur de x20 – 6765/x Problème n°2
Q1 Existe-t-il deux nombres x et y qui ne sont pas entiers tels que {x*y} = {x + y}?
Q2 Existe-t-il deux nombres x et y qui ne sont pas entiers tels que {x}*{y} = {x + y}?
Pb1) 5793 < x25 < 920482 implique √2 < x < √3.
x² – (1/x) est un entier. Sur l'intervalle √2 < x < √3, la fonction x² – 1/x est croissante, approximativement de 1,29 à 2,42, donc l'entier x² – (1/x) vaut 2.
x3 – 1 – 2x = 0, (x+1)(x² – x – 1) = 0, x = (1+√5)/2 (nombre d'or ) x² = x + 1, x3 = 2x+1, x4 = 3x+2, ...
xn = unx + vn avec un = un-1+vn-1 et vn = un-1
x20 = 6765 x + 4121 = 6765(1+√5)/2 + 4121
x20 = (6765√5 + 15127) /2 et 6765/x = ( 6765√5 - 6765) /2 x20 – 6765/x = (15127 + 6765) /2 = 10946 .
Pb2 ) Q1) Exemple x = 3,5 et y = 3,4 ont pour produit 11,9 et 0,5 + 0,4 = 0,9 . {3,5 * 3,4}= {3,5 + 3,4}
Q2) Soient a ={x} et b ={y} tous deux dans ]0, 1[, {x}*{y} = a*b {x+y}est égal à a+b ou a+b – 1 .
ab – (a +b) = 0 équivaut à (a – 1)(b – 1) = 1 c'est impossible ab – (a+b – 1) = 0 équivaut à (a – 1)(b – 1) = 0 c'est impossible {x}*{y} et {x + y} ne sont jamais égaux.
