Partie C – la m´ ethode de Newton pour x 7→ x

DM de MPSI2

Corrig´ e de devoir non surveill´ e

Quelques aspects de la m´ ethode de Newton

Partie A – R´ esultats g´ en´ eraux et exemples simples

A.1On aNδ :x7→x−^x3_3x⁺¹⁶2 (surR^∗). Pourx0= 2,x1=Nf(x1) = 2−²⁴₁₂ = 0, et il n’est donc pas possible de d´efinirx2: la suite de Newton n’est pas bien d´efinie.

A.2Un calcul (tr`es) simple montre queNexp= Id_R−1,i.e.

∀x∈R, Nexp(x) =x−1

La suite de Newton (xn) est donc bien d´efinie, arithm´etique de raison −1. Son terme g´en´eral vaut donc xn=x0−n,

pour tout entier natureln∈N. Une telle suite tend bien sˆur vers−∞.

Remarque : on aurait aussi pu dire que cette suite ´etait strictement d´ecroissante, et divergente, puisque l’it´eratriceN_exp est continue surRet sans point fixe.

A.3Nϕ est donn´ee par

∀x∈R^∗, N_ϕ(x) =1 2x.

La suite de Newton associ´ee `a ϕ et x₀ est bien d´efinie (R^∗ est stable par N_ϕ) et g´eom´etrique de raison

1

2∈]−1,1[, et tend donc vers 0.

A.4

a N_f(l) est bien d´efini (puisquef⁰(l)6= 0), et N_f(l) =l−_f^f(l)0(l) =l. Par ailleurs, puisquef est deux fois d´erivable,N_f⁰(l) = 1−^(f0(l))_(f^2−f0(l))^002(l)f(l)= 0.

Par continuit´e deN_f⁰ enl (valable carf est de classeC²), et commeN_f⁰(l) = 0,|N_f⁰|6 ¹2 au voisinage del, doncNf est ¹₂-lipschitzienne sur un voisinageV del, que l’on peut supposer ˆetre de la forme ]l−ε, l+ε[ pour un certainε∈R^∗+.

Appliquons ce r´esultat `a x∈ V etl : nous obtenons

|Nf(x)−l|=|Nf(x)−N_f(l)|61 2|x−l|.

A.5 Soitx0∈ V. D’apr`es la relation pr´ec´edente, on observe queV est stable parNf. Comme il poss`ede en outrex0, la suite (xn) est bien d´efinie. De plus, pour toutn∈N:

|xn+1−l|6 1

2|xn−l|,

(d’apr`es la question pr´ec´edente pour x=xn), et, par r´ecurrence imm´ediate

|xn−l|6 1

2ⁿ|x0−l|, d’o`u le r´esultat demand´e.

Supposons maintenant quex0∈R, et qu’il existe un entiern0∈Ntel que (xn0soit bien d´efini et) appartienne

`

a V. En appliquant le r´esultat pr´ec´edent `a la suite de Newton de terme initial x_n0, on trouve que la suite de Newton de terme initialx₀ est bien d´efinie (x_n est bien d´efini pourn6n₀ et pourn>n₀), et converge versl avec une vitesse au pire g´eom´etrique.

Partie B – Bassin imm´ ediat

B.1

a L’ensemble des solutions de l’´equationρ(x) = 0 est{−1,0,1}.

bPour toutxtel queρ⁰(x)6= 0 (i.e.x /∈ {−^√1

3,^√1

3}), on aNρ(x) =x−_3x^x32^−x−1 =_3x^2x2−1³

La fonction ρest ind´efiniment d´erivable sur R (car polynomiale), ses d´eriv´ees premi`ere (x 7→3x<sup>2</sup>−1) et seconde (x7→6x) sont `a valeurs dansR^∗+ sur [1,+∞[.

Soitx>1.ρest convexe sur [1,+∞[, et donc ρ(x⁰)>ρ(x) +ρ⁰(x)(x⁰−x) pour tout x⁰ >1. Pour x⁰ = 1, ceci conduit `a

0>ρ(x) +ρ⁰(x)(1−x), donc `a

16N_ρ(x).

Enfin,N_ρ(x)−x=−_3x^x3₂^−x₋₁ puisquex>1.

On a bien 16N_ρ(x)6x.

cD’apr`es la question pr´ec´edente, pour toutx0>1, la suite de Newton (xn) est bien d´efinie ([1,+∞[ est stable par l’it´eratriceNρ et comprend x0), et d´ecroissante. Elle est donc convergente, vers un point fixe de Nρ

sur [1,+∞[, par continuit´e : elle converge donc vers 1.

B.2

aSoitx, y∈I(0) : il existe des intervalles styl´esJxetJy tels quex∈Jxety∈Jy.Jx(resp.Jy) contient le segment joignant 0 `ax(resp.y), doncJx∪Jycontient le segment d’extr´emit´esxety: commeJx∪Jy ⊂I(0), I(0) est convexe, donc un intervalle.

I(0) est born´e puisque major´e ^√1

3 et minor´e par −^√1₃ (sinon, par convexit´e de I(0), l’un de ces nombres appartiendrait `a I(0)).

Remarque : on aurait aussi pu majorer par 1 et minorer par−1 et utiliser la question pr´ec´edente.

bSoitx₀∈I(0), etV =]−ε,+ε[ comme dans la question A.4. Par convergence de (x_n) vers 0, il existe un rangn0 ∈ N pour lequel xn₀ ∈]−₂^ε,^ε₂[. Or xn₀ = N_f^◦n0(x0), et la fonctionN_ρ^◦n0 est continue en x0. Par cons´equent, il existeη∈R^∗+ tel que, pour touty0∈]x0−η, x0+η[, on aitN_ρ^◦n0(y0)∈ V. D’apr`es A.4, la suite de Newton de terme initialy0 converge donc, et ]x0−η, x0+η[⊂I(0).

V est donc voisinage de chacun de ses points,i.e.V est ouvert.

c On consid`ere x0 ∈R. Par imparit´e de la fonction Nρ, on montre par une r´ecurrence imm´ediate que les suites de Newton de termes initiaux oppos´es sont oppos´ees. Par cons´equent, x0 ∈ I(0) si et seulement si

−x0∈I(0), d’o`uα=−β.

dSoitx0∈I(0)∩R^∗+. Pour touty0∈[0, x0], la suite de Newton (yn) associ´ee `ay0converge vers 0, donc la suite de Newton associ´ee `ay1=Nρ(y0), qui en est extraite, converge ´egalement vers 0. OrNρ([0, x0]) est un intervalle (car image continue d’un intervalle), et comprend 0 =N_ρ(0) etN_ρ(x₀) : il contient donc le segment d’extr´emit´es 0 et N_ρ(x₀). Ainsi, N_ρ(x₀)∈ I(0). Ceci prouve N_ρ([0, β[)⊂I(0). De mˆeme, ou par imparit´e de N_ρ,N_ρ(]α,0])⊂I(0).

On a donc bien :

N_ρ(]α, β[)⊂]α, β[

e Prouvons par exemple queρ(β)6= 0 : on sait d´ej`a que 06=β. Siρ(β) = 0, alors le th´eor`eme de Rolle appliqu´e `aNρentre 0 etβ prouve l’existence dex∈]0, β[⊂I(0) tel queρ<sup>0</sup>(x) = 0 :xne peut donc appartenir `a I(0) (la suite de Newton associ´ee n’est mˆeme pas bien d´efinie), ce qui est absurde. De mˆemeρ(α)6= 0.

Remarque :pour la fonction consid´er´ee, on peut aussi simplement remarquer queαetβsont diff´erents de 0,−1 et 1.

f Prouvons par exemple queρ⁰(β)6= 0 : siρ⁰(β) = 0, alors lim

β⁻ |Nρ(x)|= +∞, et il existerait doncx∈I(0) tel queN_ρ(x)∈]− ∞,−1[∪]1,+∞[ : la suite de Newton de terme initial xconvergerait alors vers 1 ou−1, ce qui est absurde. De mˆeme,ρ⁰(α)6= 0.

gN_ρ est continue enαetβ, puisqueρetρ⁰le sont (et queρ⁰ne s’annule pas en ces points). On en d´eduit (comme en outreN_ρ(]α, β[)⊂]α, β[) queN_ρ(α)∈[α, β]. OrN_ρ(α)∈]α, β[ (sinon/ α∈I(0)), etN_ρ(α)6=α(par exemple car le seul point fixe deN_ρdans ]−^√1

3,^√1

3[ est 06=α), et il ne reste que la possibilit´eN_ρ(α) =β. De mˆeme (ou par imparit´e deNρ),Nρ(β) =α.

hLe r´eel strictement n´egatifαv´erifie donc 2α³

3α²−1 =−α i.e.α=−^√1₅, puisβ=^√1

5.

Partie C – la m´ ethode de Newton pour x 7→ x

+ 1 conduit au chaos

C.1Nσ est d´efinie pour tout r´eelxnon nul, et

Nσ(x) = 1 2

x− 1

x

Soitx0∈Rtel que la suite de Newton soit bien d´efinie. Cette suite est n´ecessairement divergente, puisque pour tout r´eel x,Nσ−Id n’est pas de limite nulle enx. De plus, commexn+1−xn =−_x¹

n, on axn+1 < xn (resp.

xn+1> xn) sixn >0 (resp.xn <0). Si par exemple la suite (xn) tendait vers +∞(l’autre cas est semblable), alors elle serait positive `a partir d’un certain rang, donc d´ecroissante `a partir d’un certain rang, ce qui est absurde : la suite de Newton (xn) est divergente de seconde esp`ece.

C.2Siz=e^iθ=e^iθ0 ∈U\ {1}pour deux r´eelsθetθ⁰, non multiples entiers de 2π, alors cotan(^θ₂), cotan(^θ₂⁰) existent et sont ´egaux. En effet,θetθ⁰ diff`erent d’un multiple entier de 2π, et la fonction cotangente est d´efinie surR\πZetπ-p´eriodique. Cette d´efinition est donc licite.

La fonction cotangente d´efinit une bijection de ]0, π[ surR, et tout nombre complexe de module 1, diff´erent de 1, admet un unique argument dans l’intervalle ]0,2π[ : la fonction Φ d´efinit donc une bijection deU\ {1}sur R.

Soitz∈U\ {−1,1}. Les r´eelsNσ(Φ(z)) et Φ(D(z)) sont bien d´efinis, et la formule demand´ee r´esulte de

∀θ∈R\πZ, cotan(θ) = 1

2 cotan(θ

2)− 1 cotan(^θ)₂

!

Soitz∈U\ {1}. La suiteω= (Φ(D^◦n(z))) a pour terme inital Φ(z), et si son terme de rangnest bien d´efini et non nul, alorsD^◦n(z)∈ {−1,/ 1}et, d’apr`es la question pr´ec´edente,

Nσ(ωn) =Nσ(Φ(D^◦n(z)) = Φ(D(D^◦n(z))) = Φ(D^◦(n+1)(z)) =ωn+1, donc cette suite est d’it´eratriceNσ.

La suite (Φ(D^◦n(z))) est donc bien la suite de Newton associ´ee `a Φ(z).

Supposons d´esormaiszp´eriodique pourD: soitn∈N^∗ tel quez=D^◦n(z). En appliquant Φ, il vient, grˆace

`

a ce qui pr´ec`ede

Φ(z) = Φ(D^◦n(z)) =N_σ^◦n(Φ(z)), donc Φ(z) est p´eriodique pourN_σ.

C.3

a Soit (k, n)∈N×N^∗, et soitz=e^i22πkn−1. On a alors

D^◦n(z) =z²ⁿ=e^{i22πkn−12n}=e^{i22πkn−1(2n−1+1)}=e^2ikπe^i22πkn−1 =z etz est p´eriodique pourD

b Soitx, y ∈]0,1[, o`u x < y. Soitn ∈ N^∗ tel que _2n¹₋₁ < y−x. Il existe un entier k ∈[[1,2ⁿ −2]] tel que x6 2^nk−1 6 y. Ainsi, {₂n^πk−1, n∈ N^∗∧k ∈ [[1,2ⁿ−2]]} est dense dans ]0, π[, donc, par continuit´e de la fonction cotangente, Ω ={cotan

πk 2ⁿ−1

, n∈N^∗∧k∈[[1,2ⁿ−2]]}est dense dans cotan(]0, π[) =R. Or, d’apr`es les questions pr´ec´edentes, Ω contient l’ensemble des points p´eriodiques pourN_σ : ce dernier ensemble est donc lui-mˆeme dense dansR.

C.4Comme (e^iθ)²=e^i(2θ), on a par r´ecurrence la relationD^◦n(e^i]α,β[) =e^i]2nα,2nβ[(pour tout entier naturel n). Orβ−α > 0, et il existe donc un entier natureln pour lequel 2ⁿ(β−α)>2π. Pour un tel n, on a donc D^◦n(e^i]α,β[) =U.