0, avec l’algorithme de Newton en prenant x0 =x

BCPST Approximations de r´eels 2016-2017 Exercice 1 :

(1) Rappeler une ´equation polynomiale qui admet comme solution √ 2

(2) ´Ecrire une fonctiondicho racine(n,a,b)qui retourne le couple (a_n, b_n) obtenue par l’algorithme de dichotomie avec a₀ =a et b₀ =b.

(3) ´Ecrire une fonction newton racine(n,x) qui calcule x_n avec l’algorithme de Newton en prenant x₀ =x.

(4) Tester (sans les impl´ementer, mais on pourra s’aider d’une calculatrice) ces al- gorithmes avec n= 3, a = 1, b= 2 et x= 2. Lequel est le plus rapide ?

Exercice 2 :

Ecrire un algorithme qui calcule une approximation de´ π `a partir de la fonction sin.

Programmer cet algorithme.

Exercice 3 :

(1) Programmer la fonction newton(f,f2,x,n) qui calcule x_n, une approximation de f(x) = 0, avec l’algorithme de Newton en prenant x₀ =x. f2 est la d´eriv´ee de f.

(2) Programmer la fonctionsecante(f, x0, x1, n)qui calculex_n, une approximation de f(x) = 0, avec l’algorithme de la s´ecante en prenant.

(3) Tester et comparer ces deux fonctions.

Exercice 4 :

La m´ethode d’H´eron est une m´ethode efficace d’extraction de racine carr´ee.

Elle porte le nom d’H´eron (1 si`ecle apr`es JC) mais certains calculs ant´erieurs, no- tamment ´Egyptien, semblent montrer que la m´ethode est plus ancienne.

L’id´ee est que la suite r´ecurrente d´efinie pour tout entier n par u_n+1 = ¹₂

u_n+_u^K

n

et u₀ >0 converge vers √

K o`uK est un r´eel positif.

(1) Expliquer en quoi la m´ethode de H´eron est un cas particulier de la m´ethode de Newton.

(2) Donner une suite qui converge vers √ⁿ

K, la racine ni`eme deK. Exercice 5 :

Si on applique la m´ethode de Newton `a la fonction x7→ax−1 (aveca >0), on peut esp´erer approcher l’inverse dea.

(1) Expliciter la relation de r´ecurrence mise en place par la relation de Newton. . . et constater qu’elle est inutilisable.

(2) Montrer qu’en utilisant la m´ethode de Newton avec x 7→ ¹_x −a, on corrige ce probl`eme.

(3) En ´etudiant la courbe de la fonction pr´ec´edente, conjecturer des valeursx₀ pour lesquelles cette m´ethode fonctionne.

(4) Programmer cette m´ethode et d´eterminer les 5 premiers termes de la suite, lorsque a = 3 etx₀ ∈ {−0.1; 0; 0.1; 0.3,0.7,1.2}.

BCPST Approximations de r´eels, Page 2 sur 2 2016-2017 Exercice 6 :

Dans cet exercice, on reprend les algorithmes du TP sur les matrices.

On suppose maintenant que A est une matrice et on consid`ere une suite de matrice (X<sub>n</sub>)n∈N. Pour inverser la matrice, on utilise la m´ethode de Newton appliqu´ee `a la fonction f(X) = A−X⁻¹. On consid`ere ainsi une suite de matrice (X_n)_n∈N v´erifiant la relation X_n+1 =X_n(2In−AX_n).

(1) Expliquer la relation entre cette suite et la m´ethode de Newton.

(2) Un bon choix de valeur de d´epart est X0 = α0A^t, avec α0 = 1

kAk₁kAk_∞, o`u kAk₁ = max_jP

i|a_i,j| etkA|_∞ = max_iP

j|ai, j|

a. ´Ecrire la fonction somme colonne(A,j) qui fait la somme des valeurs ab- solues des termes de la colonne j.

b. En d´eduire la fonctionnorme1(A)qui renvoie le maximum de ces sommes.

c. ´Ecrire de mˆeme la fonction normeinfini(A) qui renvoie le maximum des sommes des lignes.

(3) Programmer la fonction inversion matrice Newton(A) qui inverse une ma- trice A `a l’aide de cet algorithme.