1. a) La fonction g est dérivable comme somme de fonctions dérivables ; g'( x ) tan ( x ) =

(1)

CORRECTION DEVOIR SURVEILLE N° 2 TERMINALE S 3 EXERCICE 1 :

1. a) La fonction g est dérivable comme somme de fonctions dérivables ; g'( x ) tan ( x ) =

²

+ − = 1 1 tan ( x )

²

est positif ; donc la fonction g est croissante sur I et comme g(0) = 0, la fonction g est positive sur I.

b) Pour tout x de I, on a 2 1

2 ≤ cos( x ) ≤ donc 1

1 2

cos( x )

≤ ≤ et 0 2

sin( x ) 2

≤ ≤ , donc 0 ≤ tan( x ) ≤ 1 .

c) La fonction h est dérivable comme somme de fonctions dérivables ; h'( x ) tan ( x ) =

²

+ − = 1 2 tan ( x )

²

− 1 ; d’après la question précédente, h’(x) est négative et donc h est décroissante sur I ; de plus, h(0) = 0, donc h est négative sur I.

2. a) La fonction f est dérivable comme somme de fonctions dérivables ; f '( x ) tan ( x ) =

²

+ − − 1 1 4 x

²

= tan ( x )

²

− 4 x

²

; donc f '( x ) (tan( x ) = + 2 x )(tan( x ) − 2 x ) ; d’après les questions précédentes, tan( x ) − 2 x ≤ 0 et tan( x ) + 2 x ≥ 0 donc f’(x) est négative et donc f est décroissante sur I ; de plus, f(0) = 0, donc f est négative sur I.

b) Le tableau de variations de f : ( Le signe de f sur I : f(x) ≤ 0 ) c) Pour tout x de I, on a g( x ) ≥ 0 et f(x) ≤ 0, donc

4

3

3 x tan( x ) x ≤ ≤ + x .

3. Pour tout x de I, on a

4

3

0 3

tan( x ) x x

≤ − ≤ et si x ≠ 0,

₂

4 0 3

tan( x ) x x x

≤ − ≤ . Comme

00

4 0

3

xx

lim x

→>

= alors

₂

00 x

0

x

tan x x

lim

^→_>

x − = . La fonction tangente est dérivable sur I, donc

4

1 4

x

tan x lim

π

x π

→

 

 − 

 

 − 

 

 

est le nombre dérivé de tan(x) en 4

π _{, car} ₁

tan( ) π 4 ₌ _{; donc}

2

4

1 1 2

4 4

4

x

tan x

lim tan'( ) tan ( )

π

x

π π

π

→

 

 −  = = + =

 

 − 

 

 

.

EXERCICE 2 : a) On a

1 ⁰ ⁰

2 14

3 3

u v

u = + = ,

1 ⁰ ⁰

3 15

4 4

u v

v = + = ,

2

73 u = 18 ,

2

191 v = 48 . b) Pour tout entier naturel n,

1 1 1

4 2 3 3

12

n n n n

n n n

( u v ) ( u v )

w

₊

= u

₊

− v

₊

= + − + = 1

12 12

n n

n

u v

− = w . Donc la suite ( w )

n

est géométrique de raison 1

12 et de premier terme w

₀

= 11 . Ainsi 11 1 12

n

w

n

 

=     . Pour tout entier n, w

_n

> 0 . c) On a

1

2 3

3 3

n n n n

n n

u v u w

u

₊

− = u + − = − < 0, donc la suite ( u )

n

est décroissante ; et

1

3 4

4 4

n n n n

n n

u v v w

v

₊

− = v + − = > 0, donc la suite ( v )

_n

est croissante. De plus

_n _n _n

0

n

lim w

n

lim( u v )

→+∞

=

→+∞

− = car la raison de la suite ( w )

_n

est strictement compris entre -1 et 1. Donc les deux suites ( u )

_n

et ( v )

_n

sont adjacentes.

d) Pour tout n, t

n₊1

= 3 u

n₊1

+ 8 v

n₊1

= + u

n

2 v

n

+ 2 ( u

n

+ 3 v ) t

n

=

n

. Donc la suite ( t )

n

est constante et t

n

= = t

0

36 8 44 + = .

On trouve que 1

4 8 12

n

u

n

 

= +     et que 1 4 3 12

n

v

n

 

= −     . La limite commune de ( u )

n

et ( v )

n

est 4 .

EXERCICE 3 : a) L’équation z

²

− 2 z + = 4 0 a pour discriminant : ∆ = -12 ; donc l’équation a deux solutions

complexes :

₁

2 12 1 3

2 z = + i = + i et z

₂

= = − z

₁

1 i 3 ; L’équation z

²

+ ( 2 2 )z + = 4 0 a pour discriminant : ∆ = -8 ;

donc l’équation a deux solutions complexes : z

3

= ( − 2 2 + i 8 ) 2 = − 2 + i 2 et z

4

= = − z

3

2 − i 2 . b) Le quadrilatère ABCD est un trapèze isocèle.

c) z

A

= 1

²

+ ( 3 )

²

= 2 et z

B

= ( − 2 )

²

+ ( 2 )

²

= 2 . Comme z

C

= z

A

et z

D

= z

B

, alors z

c

= z

D

= 2 . Soit θ

A

un argument de z

A

; on a 1

2 cos( θ

A

) = et 3

2 s in( θ

A

) = , donc θ

^A

= π 3 [2π], et Arg( z

_C

) = − π 3 [2π].

Soit θ

B

un argument de z

B

; on a 2 2

cos( θ

B

) = ⁻ , 2

2 s in( θ

B

) = , donc 3 4

B

π

θ = [2π], Arg( z

_D

) = 3 4 − π [2π].

d) On a 2 1 6 2 6 2

4 4

1 3

B A

z ( i ) i

z i

− + − +

= = +

+ . De plus,

^B ^B

1

A A

z z

z = z = et

³ ⁵

4 3 12

B

B A

A

Arg(z ) Arg( z ) Arg( z ) z

π π π

= − = − =

1. a) La fonction g est dérivable comme somme de fonctions dérivables ; g'( x ) tan ( x ) =

CORRECTION DEVOIR SURVEILLE N° 2 TERMINALE S 3 EXERCICE 1 :

1. a) La fonction g est dérivable comme somme de fonctions dérivables ; g'( x ) tan ( x ) =

+ − = 1 1 tan ( x )

est positif ; donc la fonction g est croissante sur I et comme g(0) = 0, la fonction g est positive sur I.

b) Pour tout x de I, on a 2 1

2 ≤ cos( x ) ≤ donc 1

1 2

cos( x )

≤ ≤ et 0 2

sin( x ) 2

≤ ≤ , donc 0 ≤ tan( x ) ≤ 1 .

c) La fonction h est dérivable comme somme de fonctions dérivables ; h'( x ) tan ( x ) =

+ − = 1 2 tan ( x )

− 1 ; d’après la question précédente, h’(x) est négative et donc h est décroissante sur I ; de plus, h(0) = 0, donc h est négative sur I.

2. a) La fonction f est dérivable comme somme de fonctions dérivables ; f '( x ) tan ( x ) =

+ − − 1 1 4 x

= tan ( x )

− 4 x

; donc f '( x ) (tan( x ) = + 2 x )(tan( x ) − 2 x ) ; d’après les questions précédentes, tan( x ) − 2 x ≤ 0 et tan( x ) + 2 x ≥ 0 donc f’(x) est négative et donc f est décroissante sur I ; de plus, f(0) = 0, donc f est négative sur I.

b) Le tableau de variations de f : ( Le signe de f sur I : f(x) ≤ 0 ) c) Pour tout x de I, on a g( x ) ≥ 0 et f(x) ≤ 0, donc

4

3 x tan( x ) x ≤ ≤ + x .

3. Pour tout x de I, on a

4

0 3

tan( x ) x x

≤ − ≤ et si x ≠ 0,

4

0 3

tan( x ) x x x

≤ − ≤ . Comme

4 0

3

lim x

= alors

0

tan x x

lim

x − = . La fonction tangente est dérivable sur I, donc

1 4

tan x lim

x π

 

 − 

 

 − 

 

 

est le nombre dérivé de tan(x) en 4

π , car 1

tan( ) π 4 = ; donc

1 1 2

4 4

4

tan x

lim tan'( ) tan ( )

x

π π

π

 

 −  = = + =

 

 − 

 

 

.

EXERCICE 2 : a) On a

2 14

3 3

u v

u = + = ,

3 15

4 4

u v

v = + = ,

73 u = 18 ,

191 v = 48 . b) Pour tout entier naturel n,

4 2 3 3

12

π _{, car} ₁

tan( ) π 4 ₌ _{; donc}