Quelques aspects de la m´ ethode de Newton

DM de MPSI2

Devoir non surveill´ e

Quelques aspects de la m´ ethode de Newton

. M´ethode de Newton : on consid`ere une fonctionf :I→R de classeC<sup>1</sup> sur I (o`u I est un intervalle d’int´erieur non vide), on note Γ son graphe, et, pour tout x∈I,Mxle point de Γ d’abscisse x.

On suppose quef s’annule enα∈R, et on cherche `a d´eterminer des valeurs approch´ees deα.

Le principe de la m´ethode de Newton se fonde sur l’esp´erance que, ´etant donn´e une valeur approch´eex0

de α, l’abscissex1 du point d’intersection de l’axe des abscisses et de la tangente `a Γ enMx₀ - que l’on suppose donc non horizontale- soit une meilleure approximation de αquex0.

On r´eit`ere alors le proc´ed´e, ce qui conduit dans les cas favorables `a la construction d’une suite r´ecurrente (xn), qui converge versα. Cette suite est appel´ee suite de Newton associ´ee `a la condition initialex0 et `a la fonctionf. On montre ais´ement (inutile de le prouver) qu’une telle suite est d’it´eratrice

N_f :x7→x− f(x) f⁰(x)

. On peut mettre en œuvre la m´ethode de Newton dans un cadre plus g´en´eral, mais en admettant que la suite construite soit ´eventuellement finie :

Suite de Newton associ´ee `af, de terme initialx0 :soitf une fonction de classeC<sup>1</sup>sur son domaine de d´efinition r´eel Ω, `a valeurs r´eelles. On se donne une valeur initialex0∈Ω. Pour tout entiern, sixn est bien d´efini, est ´el´ement de Ω, et sif⁰(xn)6= 0, on d´efinit le termexn+1 par

x_n+1=N_f(x_n), o`uN_f :x7→x− f(x) f⁰(x)

La suite (xn) (´eventuellement finie) est lasuite de Newton associ´ee `a(la condition initiale)x0et `af. On dit que la suite de Newton (xn) estbien d´efinie si, pour tout entier natureln, on peut d´efinirxn. . It´er´es d’une fonction :pour tout ensembleX et toute fonction∇ :X→X, on d´efinit la suite (∇^◦n)n∈N

par∇^◦0= IdX et, pour tout n∈N,∇^◦(n+1)=∇ ◦ ∇^◦n. Par exemple,∇^◦3=∇ ◦ ∇ ◦ ∇.

On dit qu’un pointz deX estp´eriodique pour∇s’il existe n∈N^∗pour lequelz=∇^◦n(z).

. Par souci de simplicit´e, on autorisera l’emploi abusif de la notation ∇^◦n, comme dans l’expression tan^◦2, qui d´esignera l’application qui `a tout r´eel xtel que tan(x) et tan(tan(x)) soient bien d´efinis, associe ce dernier r´eel.

. Convergence au pire g´eom´etrique :´etant donn´e une suite r´eelle (u_n), convergeant vers un r´eelα, on dit que la convergence de (u_n) versαestau pire g´eom´etrique s’il existeγ∈[0,1[ tel queu_n−α= O(γⁿ).

Partie A – R´ esultats g´ en´ eraux et exemples simples

A.1Montrer que la suite de Newton associ´ee `a la condition initiale 2 et `a la fonctionδ :x7→x³+ 16 n’est pas bien d´efinie.

A.2 Soitx₀∈R. Montrer que la suite de Newton (x_n) associ´ee `a x<sub>0</sub> et `a la fonction exponentielle est bien d´efinie, et qu’elle diverge vers−∞.

A.3On consid`ere la fonction carr´eϕ :x7→x² : montrer que, pour toute valeur initialex0∈R^∗, la suite de Newton est bien d´efinie et converge vers 0, avec une vitesse au pire g´eom´etrique.

A.4On suppose icif de classeC²surR, quel∈Rest un z´ero def mais pas def⁰,i.e.f(l) = 0 etf⁰(l)6= 0.

a Montrer que Nf(l) =l et N_f⁰(l) = 0. En d´eduire qu’il existe ε∈R^∗+ tel queNf soit ¹₂-lipschitzienne surV=]l−ε, l+ε[.

Montrer que pour toutx∈ V,

|Nf(x)−l|6 1 2|x−l|.

bMontrer que pour toutx0∈ V, la suite de Newton associ´ee `a x0 et f est bien d´efinie et converge vers l, avec une vitesse au pire g´eom´etrique.

Que dire d’une suite de Newton associ´ee `af et `a une condition initialex0∈R, pour laquelle il existen0∈N tel quexn₀ (soit bien d´efini et) appartienne `aV?

Partie B – Bassin imm´ ediat

Dans cette partie, on consid`ere la fonctionρ:x7→x<sup>3</sup>−x. Toutes les suites de Newton de cette partie sont implicitement associ´ees `aρ.

B.1

a Donner l’ensemble des solutions de l’´equationρ(x) = 0, et tracer le graphe deρ.

bCalculerNρ, et montrer que pour toutx>1, 16Nρ(x)6x.

Indication : on pourra notamment utiliser (et prouver) la convexit´e deρsur [1,+∞[.

cMontrer que pour toutx0>1, la suite de Newton de terme initalx0est bien d´efinie et converge vers 1.

B.2On dit qu’un intervalleJeststyl´es’il comprend 0 et si, pour toutx∈J, la suite de Newton de condition initialexest bien d´efinie et converge vers 0.

On appellebassin imm´ediat de 0 et on noteI(0) la r´eunion des intervalles styl´es.

a Montrer queI(0) est un intervalle born´e.

bMontrer queI(0) est ouvert.

Indication : on pourra utiliser A.4

cLe bassin imm´ediatI(0) de 0 est donc de la forme ]α, β[, avecα, β∈R, o`uα < β. Montrer queα=−β (on pourra comparer des suites de Newton de termes initiaux oppos´es).

dMontrer queN_ρ(]α, β[)⊂]α, β[.

eMontrer queρ(α) et ρ(β) sont non nuls.

f Montrer queρ⁰(α) etρ⁰(β) sont non nuls.

gMontrer queN_ρ(α) =β, N_ρ(β) =α.

hD´eduire des questions pr´ec´edentes les valeurs deαetβ.

Partie C – La m´ ethode de Newton pour x 7→ x

+ 1 conduit au chaos

Dans cette partie, on consid`ere la fonctionσ:x7→x<sup>2</sup>+ 1. Toutes les suites de Newton de cette partie sont implicitement associ´ees `aσ.

C.1CalculerNσ. Montrer que pour toute valeur initialex0∈R, si la suite de Newton (xn) est bien d´efinie, alors elle est divergente de seconde esp`ece (i.e.elle n’admet pas de limite).

Indication : on pourra notamment ´etudier le signe dexn+1−xn. On consid`ere le cercle unit´e

U={z∈C,|z|= 1}

et la fonction carr´eD :U→U,z7→z². C.2

a On d´efinit l’application Φ : U\ {1} →R, qui `a z = e<sup>iθ</sup> ∈ U\ {1} (pour un certain r´eel θ) associe cotan(<sup>θ</sup><sub>2</sub>) : montrer que cette d´efinition est licite, c’est-`a-dire qu’`a un ´el´ement z deU\ {1} elle associe bien un unique r´eel (ind´ependent du choix de θ). Montrer que Φ d´efinit une bijection deU\ {1}dansR.

bMontrer que

N_σ(Φ(z)) = Φ(D(z)), pour toutz∈U\ {−1,1}.

Montrer que pour toutz∈U\ {1}, (Φ(D^◦n(z)) est la suite de Newton associ´ee `a Φ(z).

Soitz∈U\ {1}un point p´eriodique deD. Montrer que Φ(z) est un point p´eriodique deN_σ. C.3

a Soit (k, n)∈Z×N^∗,z=e^i22πkn−1. Montrer quezest p´eriodique pourD.

bMontrer que l’ensemble Ω des points p´eriodiques pourNσ est dense dansR. C.4Soit ]α, β[ (α, β∈R,α < β), un intervalle r´eel ouvert. On pose

e^i]α,β[={e^iθ, θ∈]α, β[}.

Il s’agit donc d’une partie deU.

Montrer que pour toutn∈ND^◦n(e^i]α,β[) =e^i]2nα,2nβ[. En d´eduire qu’il existe un entier naturelntel que

D^◦n(e^i]α,β[) =U

Epilogue :´ tout ceci prouve queN_σ est chaotique au sens de Devaney.