Quelques aspects de la m´ ethode de Newton

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DM de MPSI2

Devoir non surveill´ e

Quelques aspects de la m´ ethode de Newton

. Méthode de Newton : on considère une fonctionf :I→R de classeC¹ sur I (où I est un intervalle d’intérieur non vide), on note Γ son graphe, et, pour tout x∈I,Mxle point de Γ d’abscisse x.

On suppose quef s’annule enα∈R, et on cherche à déterminer des valeurs approchées deα.

Le principe de la méthode de Newton se fonde sur l’espérance que, étant donné une valeur approchéex0

de α, l’abscissex1 du point d’intersection de l’axe des abscisses et de la tangente `a Γ enMx₀ - que l’on suppose donc non horizontale- soit une meilleure approximation de αquex0.

On réitère alors le procédé, ce qui conduit dans les cas favorables à la construction d’une suite récurrente (xn), qui converge versα. Cette suite est appelée suite de Newton associée à la condition initialex0 et à la fonctionf. On montre aisément (inutile de le prouver) qu’une telle suite est d’itératrice

N_f :x7→x− f(x) f⁰(x)

. On peut mettre en œuvre la méthode de Newton dans un cadre plus général, mais en admettant que la suite construite soit éventuellement finie :

Suite de Newton associée àf, de terme initialx0 :soitf une fonction de classeC¹sur son domaine de définition réel Ω, à valeurs réelles. On se donne une valeur initialex0∈Ω. Pour tout entiern, sixn est bien défini, est élément de Ω, et sif⁰(xn)6= 0, on définit le termexn+1 par

x_n+1=N_f(x_n), o`uN_f :x7→x− f(x) f⁰(x)

La suite (xn) (éventuellement finie) est lasuite de Newton associée à(la condition initiale)x0et àf. On dit que la suite de Newton (xn) estbien définie si, pour tout entier natureln, on peut définirxn. . Itérés d’une fonction :pour tout ensembleX et toute fonction∇ :X→X, on définit la suite (∇^◦n)n∈N

par∇^◦0= IdX et, pour tout n∈N,∇^◦(n+1)=∇ ◦ ∇^◦n. Par exemple,∇^◦3=∇ ◦ ∇ ◦ ∇.

On dit qu’un pointz deX estp´eriodique pour∇s’il existe n∈N^∗pour lequelz=∇^◦n(z).

. Par souci de simplicité, on autorisera l’emploi abusif de la notation ∇^◦n, comme dans l’expression tan^◦2, qui désignera l’application qui à tout réel xtel que tan(x) et tan(tan(x)) soient bien définis, associe ce dernier réel.

. Convergence au pire géométrique :étant donné une suite réelle (u_n), convergeant vers un réelα, on dit que la convergence de (u_n) versαestau pire géométrique s’il existeγ∈[0,1[ tel queu_n−α= O(γⁿ).

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Partie A – R´ esultats g´ en´ eraux et exemples simples

A.1Montrer que la suite de Newton associée à la condition initiale 2 et à la fonctionδ :x7→x³+ 16 n’est pas bien définie.

A.2 Soitx₀∈R. Montrer que la suite de Newton (x_n) associée à x₀ et à la fonction exponentielle est bien définie, et qu’elle diverge vers−∞.

A.3On considère la fonction carréϕ :x7→x² : montrer que, pour toute valeur initialex0∈R^∗, la suite de Newton est bien définie et converge vers 0, avec une vitesse au pire géométrique.

A.4On suppose icif de classeC²surR, quel∈Rest un z´ero def mais pas def⁰,i.e.f(l) = 0 etf⁰(l)6= 0.

a Montrer que Nf(l) =l et N_f⁰(l) = 0. En d´eduire qu’il existe ε∈R^∗+ tel queNf soit ¹₂-lipschitzienne surV=]l−ε, l+ε[.

Montrer que pour toutx∈ V,

|Nf(x)−l|6 1 2|x−l|.

bMontrer que pour toutx0∈ V, la suite de Newton associée à x0 et f est bien définie et converge vers l, avec une vitesse au pire géométrique.

Que dire d’une suite de Newton associée àf et à une condition initialex0∈R, pour laquelle il existen0∈N tel quexn₀ (soit bien défini et) appartienne àV?

Partie B – Bassin imm´ ediat

Dans cette partie, on considère la fonctionρ:x7→x³−x. Toutes les suites de Newton de cette partie sont implicitement associées àρ.

B.1

a Donner l’ensemble des solutions de l’´equationρ(x) = 0, et tracer le graphe deρ.

bCalculerNρ, et montrer que pour toutx>1, 16Nρ(x)6x.

Indication : on pourra notamment utiliser (et prouver) la convexit´e deρsur [1,+∞[.

cMontrer que pour toutx0>1, la suite de Newton de terme initalx0est bien d´efinie et converge vers 1.

B.2On dit qu’un intervalleJeststyl´es’il comprend 0 et si, pour toutx∈J, la suite de Newton de condition initialexest bien d´efinie et converge vers 0.

On appellebassin immédiat de 0 et on noteI(0) la réunion des intervalles stylés.

a Montrer queI(0) est un intervalle born´e.

bMontrer queI(0) est ouvert.

Indication : on pourra utiliser A.4

cLe bassin immédiatI(0) de 0 est donc de la forme ]α, β[, avecα, β∈R, oùα < β. Montrer queα=−β (on pourra comparer des suites de Newton de termes initiaux opposés).

dMontrer queN_ρ(]α, β[)⊂]α, β[.

eMontrer queρ(α) et ρ(β) sont non nuls.

f Montrer queρ⁰(α) etρ⁰(β) sont non nuls.

gMontrer queN_ρ(α) =β, N_ρ(β) =α.

hDéduire des questions précédentes les valeurs deαetβ.

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Partie C – La m´ ethode de Newton pour x 7→ x

²

+ 1 conduit au chaos

Dans cette partie, on considère la fonctionσ:x7→x²+ 1. Toutes les suites de Newton de cette partie sont implicitement associées àσ.

C.1CalculerNσ. Montrer que pour toute valeur initialex0∈R, si la suite de Newton (xn) est bien d´efinie, alors elle est divergente de seconde esp`ece (i.e.elle n’admet pas de limite).

Indication : on pourra notamment étudier le signe dexn+1−xn. On considère le cercle unité

U={z∈C,|z|= 1}

et la fonction carr´eD :U→U,z7→z². C.2

a On définit l’application Φ : U\ {1} →R, qui à z = eîθ ∈ U\ {1} (pour un certain réel θ) associe cotan(^θ₂) : montrer que cette définition est licite, c’est-à-dire qu’à un élément z deU\ {1} elle associe bien un unique réel (indépendent du choix de θ). Montrer que Φ définit une bijection deU\ {1}dansR.

bMontrer que

N_σ(Φ(z)) = Φ(D(z)), pour toutz∈U\ {−1,1}.

Montrer que pour toutz∈U\ {1}, (Φ(D^◦n(z)) est la suite de Newton associ´ee `a Φ(z).

Soitz∈U\ {1}un point p´eriodique deD. Montrer que Φ(z) est un point p´eriodique deN_σ. C.3

a Soit (k, n)∈Z×N^∗,z=eⁱ²^2πkⁿ⁻¹. Montrer quezest p´eriodique pourD.

bMontrer que l’ensemble Ω des points p´eriodiques pourNσ est dense dansR. C.4Soit ]α, β[ (α, β∈R,α < β), un intervalle r´eel ouvert. On pose

e^i]α,β[={e^iθ, θ∈]α, β[}.

Il s’agit donc d’une partie deU.

Montrer que pour toutn∈ND^◦n(eî]α,β[) =eî]2ⁿ^α,2ⁿ^β[. En déduire qu’il existe un entier naturelntel que

D^◦n(e^i]α,β[) =U

Epilogue :´ tout ceci prouve queN_σ est chaotique au sens de Devaney.