Devoir no9 - Calcul int´egral - TS 21 avril 2015 - 1h
Exercice 1 (6 points) : Calculer la valeur exacte des int´egrales suivantes :
I = Z 6
1
1 (x−3)3dx
J = Z 2
−1
1
3x+ 5dx K=
Z 1
−1
xe3x2−1dx
Exercice 2 (14 points) : Soit nun entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 1.
On note fn la fonction d´efinie pour tout r´eel x de l’intervalle [0 ; 1] par fn(x) = 1
1 +xn Pour tout entier n>1, on d´efinit le nombreIn par
In= Z 1
0
fn(x) dx= Z 1
0
1 1 +xn dx
Les repr´esentations graphiques de certaines fonctions fnobtenues `a l’aide d’un logiciel sont trac´ees ci-apr`es.
1. a) En expliquant votre d´emarche, conjecturer le sens de variation de la suite (In).
b) D´emontrer cette conjecture.
2. Calculer la valeur exacte de I1.
3. a) D´emontrer que, pour tout r´eel x∈[0 ; 1] et pour tout entier natureln>1, on a : 1
1 +xn 61 b) En d´eduire que, pour tout entier natureln>1, on a : In61.
4. D´emontrer que, pour tout r´eel x∈[0 ; 1] et pour tout entier naturel n>1, on a : 1−xn6 1 1 +xn. 5. Calculer l’int´egrale
Z 1 0
(1−xn) dx.
6. `A l’aide des questions pr´ec´edentes, encadrerIn pour tout entier natureln≥1, d´emontrer que la suite (In) est convergente et d´eterminer sa limite.
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
x y
f1
f2
f3
f50
f200
Exercice 3 (bonus) : On consid`ere la suite (un) d´efinie pour tout entier natureln par :
un= Z 1
0
e−nx 1 +e−xdx.
1. a) Montrer u0+u1= 1.
b) Montrer queu1= 1−ln(2/(1 +e)) et en d´eduire u0. 2. a) Montrer que pour tout entier naturel n,un≥0.
b) Montrer pour tout entier natureln non nul,un+un+1= 1−e−n n . c) En d´eduire que pour tout entier naturel n,un≤ 1−e−n
n . 3. Prouver que (un) converge vers une limite `a d´eterminer.
