Fonction exponentielle x 7→ e

15 Croissances compar ´ees

C H A P I T R E

En math´ematiques le probl`eme P=NP est un probl`eme non r´esolu, et est consid´er´e par de nombreux chercheurs comme un des plus importants probl`emes du domaine. Il s’agit de savoir si la classe de complexit´e P des probl`emes de d´ecision admettant un algorithme de r´esolution s’ex´ecutant en temps polynomial sur une machine de Turing est ´equivalente `a la classe de complexit´e NP des probl`emes de d´ecision dont la v´erification du r´esultat, une fois celui-ci connu, demande un temps polynomial. Un algorithme qui de- mande un temps d’ex´ecution polynomial est g´en´eralement consid´er´e comme

rapidepar rapport `a un temps d’ex´ecution exponentiel.

Lacomparaison asymptotique est une m´ethode consistant `a ´etudier le comporte- ment d’une fonction au voisiange de l’infini par rapport `a des fonctions de r´ef´erence, le plus souvent des monˆomes,x7→xⁿ.

Fonction exponentielle x 7→ e

et fonction puissance x 7→ x

1

Lorsque xtend vers +∞, les limites des fonctionsx7→e^x etx7→xsont toutes deux +∞. La limite lorsquextend vers +∞de e^x

x est `a priori une forme ind´etermin´ee mais une ´etude approfondie des fonctions exponentielle et puissance permettent de lever cette ind´etermination et d’´etablir les r´esultats suivants :

• lim

x→+∞

e^x

x = +∞et lim

x→+∞

e^x

xⁿ = +∞pour tout entier natureln

• lim

x→−∞xe^x= 0 et lim

x→−∞xⁿe^x= 0 pour tout entier naturel n Propri´et´e 1

Remarque.On dit que la fonction exponentiellel’emportesur les fonctions puis- sances dex. On a repr´esent´e Ci-dessous les fonctions

x7→e^x en rouge etx7→x³ en bleu. Pourxassez grand la croissance de l’expoentielle d´epasse tr`es largement celle de la fonction cube et plus g´en´eralement de toutes les puissances.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 y 150

0 1 2 3 4 5 6

x

3 Chapitre 15. Croissances compar´ees

D´emonstration.

Soitf la fonction d´efinie sur [0; +∞[ par f(x) = e^x−1

2x².

1. D´eterminer f⁰⁰(x), ou f⁰⁰ d´esigne la d´eriv´ee seconde def.

2. Apr`es avoir ´etudier le signe de f⁰⁰, d´eterminer les variations def⁰. 3. Calculerf⁰(0) et en d´eduire le signe

def⁰.

4. ´Etudier les variations de f, puis apr`es avoir calculer f(0) en d´eduire le signe de f.

5. Montrer que pour tout x∈[0; +∞[

on a : x

2 6e^x 6. En d´eduire que lim

x→+∞

e^x

x = +∞.

On d´emontre aussi que lim

x→−∞xe^x= 0 `a l’aide de l’´egalit´e :

x→−∞lim xe^x= lim

x→+∞−xe^−x= lim

x→+∞−x e^x Or on a d´emontr´e que lim

x→+∞

e^x

x = +∞d’o`u lim

x→−∞xe^x= lim

x→+∞−x e^x = 0

Fonction logarithme x 7→ ln x et fonction puissance x 7→ x

2

• lim

x→+∞

lnx

x = 0 et lim

x→+∞

lnx

xⁿ = 0 pour tout entier naturelnnon-nul

• lim

x→0⁺xlnx= 0 et lim

x→0⁺xⁿlnx= 0 pour tout entier naturel nnon-nul.

Propri´et´e 2

Remarque.On dit quexl’emporte sur lnxau voisinage de +∞.

Approximation affine

3

On a lim

x→0

e^x−1

x = 1 autrement dit e^x= 1 +x+xε(x) avec lim

x→0ε(x) = 0 Propri´et´e 3

Cons´equence :lorsque xest proche de 0 on a e^x≈1 +x. On dit quex7→1 +xest une approximation affine de la fonctionx7→e^x au voisinage de 0.

D´emonstration.

La fonction exponentielle est d´erivable en 0 et on a la d´eriv´ee vaut 1 en 0 d’o`u

x→0lim e^x−e⁰

x = e⁰= 1

On a lim

h→0

ln(1 +h)

h = 1 autrement dit ln(1 +h) =h+hε(h) avec lim

h→0ε(h) = 0 Propri´et´e 4

Cons´equence : lorsque hest proche de 0 on a ln(1 +h)≈h. On dit que h7→hest une approximation affine de la fonctionh7→ln(1 +h) au voisinage de 0.

D´emonstration.La fonction ln est d´erivable en 1 et on a ln⁰(1) = 1 d’o`u

h→0lim

ln(1 +h)−ln(1)

h = ln⁰(1) soit lim

h→0

ln(1 +h)

h = 1.

3